2020-2021学年高中数学 第一章 数列 3 等比数列 第2课时 等比数列的性质课件 北师大版必

第一章数列§3等比数列第2课时等比数列的性质自主预习学案1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道这是一个等比数列，那么，等比数列中，有什么特殊的性质呢？qn－m1．等比数列的性质：(1)通项公式的推广：an＝am·____________(m、n∈N＋)．(2)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是____________，公比为____________.(3)若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N＋，则____________.(4)若等比数列{an}的公比为q，则{1an}是以____________为公比的等比数列．等比数列qam·an＝ap·aq1q等比数列(5)一组等比数列{an}中，下标成等差数列的项构成____________.(6)若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}为____________.(7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为____________.(8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是____________数列．(9){an}是等比数列，且an0，则{logaan}(a0，a≠1)是____________数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为____________或____________.(2)若四个数成等比数列，可设_________________；若四个数均为正(负)数，可设____________.等比数列qm等比等差a，aq，aq2aq，a，aqa，aq，aq2，aq3aq3，aq，aq，aq3A1．在等比数列{an}中，若a6＝6，a9＝9，则a3等于()A．4B．32C．169D．3[解析]解法一：∵a6＝a3·q3，∴a3·q3＝6.a9＝a6·q3，∴q3＝96＝32.∴a3＝6q3＝6×23＝4.解法二：由等比数列的性质，得a26＝a3·a9，∴36＝9a3，∴a3＝4.2．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于()A．90B．30C．70D．40D[解析]∵q2＝a6＋a7a4＋a5＝2，∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.A3．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{a2n}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列[解析]数列{a2n}是等比数列，公比为q2，故选A．4．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则a5＝____________.3[解析]由a25＝a1·a9，∴a25＝9，∴a5＝±3.而a1、a9均为正值，故a5也为正值，∴a5＝3.5．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a12＝____________.[解析]解法一：可知a4、a6、a8、a10、a12成等比数列．其公比为a6a4＝217＝3，所以a12＝a4·35－1＝7×34＝567.567解法二：设等比数列{an}的公比为q，则a6a4＝q2＝3.∴a12＝a4·q8＝7×34＝567.解法三：由a4＝7，a6＝21，得a1q3＝7，a1q5＝21，两式相比得q2＝3.∴a12＝a1·q11＝(a1·q5)·q6＝a6·(q2)3＝21×33＝567.互动探究学案命题方向1⇨运用等比数列性质解题在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，求a10.[分析]解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q，再求a10.例题1[解析]解法一：设公比为q，由题意得a1q＝2a1q5＝162，解得a1＝23q＝3，或a1＝－23q＝－3.∴a10＝a1q9＝23×39＝13122或a10＝a1q9＝－23×(－3)9＝13122.解法二：∵a6＝a2q4，∴q4＝a6a2＝1622＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13122.解法三：在等比数列中，由a26＝a2·a10得a10＝a26a2＝16222＝13122.『规律总结』比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．A〔跟踪练习1〕(1)若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值等于()A．－12B．12C．±12D．14(2)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10·a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝____________.50[解析](1)∵1，a1，a2,4成等差数列，3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q20，∴b2＝2，∴a1－a2b2＝－a2－a1b2＝－12.(2)因为等比数列{an}中，a10·a11＝a9·a12，所以由a10a11＋a9a12＝2e5，可解得a10·a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1·a2·…·a20)＝ln(a10·a11)10＝10ln(a10·a11)＝10·lne5＝50.命题方向2⇨对称法设未知项已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析]求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．例题2[解析]设四个数为2aq－a、aq、a、aq，则由题意得a2q＝162aq－a·aq＝－128，解得a＝8q＝4或a＝－8q＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.『规律总结』(1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第二个数为16x，则第一个数为32x－x，最后一个数为x316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x的方程x316·32x－x＝－128，解之得x＝±8，则更简捷．〔跟踪练习2〕有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为多少．[解析]解法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，a＋d2a，由条件得a－d＋a＋d2a＝16，a＋a＋d＝12，解得a＝4d＝4或a＝9.d＝－6.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16.当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(a≠0)，由条件得2aq－a＋aq＝16，aq＋a＝12，解得q＝2，a＝8或q＝13，a＝3.当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16.当q＝13，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.解法三：设四个数依次为x，y,12－y,16－x，由条件有2y＝x＋12－y，12－y2＝y·16－x，解得x＝0，y＝4或x＝15，y＝9.故所求四个数为0,4,8,16，或15,9,3,1.命题方向3⇨有关等比数列的开放探究题例题3已知数列{an}是各项为正数的等比数列，数列{bn}定义为bn＝1n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)]，是否存在实数k，使得数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．[分析]先利用数列{an}是等比数列，求出数列{bn}的通项公式，再求bn＋1－bn，看使它成为常数的条件是什么？[解析]设数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]，解得bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk]＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋1n＋1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk]＝12lgq－1nn＋1lgk.要使数列{bn}为等差数列，只需k＝1，故存在实数k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．『规律总结』除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条件入手，找到解决问题的突破口．下面的性质要熟悉：①若{an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比数列；②若{an}是等比数列，且an0，则{logaan}(a0，a≠1)是等差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化．〔跟踪练习3〕在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q；(2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由．[解析](1)由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，得1＋d＝q1＋7d＝q2，解得q＝6d＝5或q＝1d＝0(舍去)．(2)假设存在a，b使得an＝logabn＋b成立，即有1＋5(n－1)＝loga6n－1＋b.整理，得(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0.∵an＝logabn＋b对一切正整数n恒成立．∴5－loga6＝04＋b－loga6＝0，∴a＝56，b＝1.例题4四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为134，求这个等比数列的公比．[误解]设这四个数为aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得a3q－3＝1，①aq－1＋aq＋aq3＝134.②由①得a＝q，把a＝q代入②并整理，得4q4＋4q2－3＝0，解得q2＝12或q2＝－32(舍去)，故所求的公比为12.[辨析]上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误．[正解]设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，由题意得aq3＝1，①aq＋aq2＋aq3＝134.②由①得a＝q－1，把a＝q－1代入②并整理，得4q2＋4q－3＝0，解得q＝12或q＝－32，故所求公比为12或－32.等比数列的性质等比数列的性质等比数列中的设项方法与技巧等差数列与等比数列的综合应用