2020-2021学年高中数学 第一章 数列 2 等差数列 第2课时 等差数列的性质课件 北师大版必

第一章数列§2等差数列第2课时等差数列的性质自主预习学案2019年4月29日至10月7日，2019年中国北京世界园艺博览会在北京延庆区举行，展会期间，人流如织，总参观人数超过7000万．根据有关部门统计，某展馆7月上旬每天平均参观人数为20万人，在后面70天内，前40天每天增加0.5万人，后30天每天减少1万人，问在这段时间内，有多少天参观人数能达到30万人？这是一个与等差数列有关的问题，让我们进一步来认识等差数列吧．(n－m)d1．等差数列的项与序号的性质(1)两项关系通项公式的推广：an＝am＋____________(m、n∈N＋)．am＋an(2)多项关系项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，则____________＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N＋)，则am＋an＝____________.2．等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a1＋an＝a2＋____________＝ak＋____________＝2an＋12(其中n为奇数且n≥3)．2apan－1an－k＋13．等差数列的性质(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____________的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为____________的等差数列；③{ank}(k∈N＋)是公差为____________的等差数列．(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为____________的等差数列．dcdkdpd1＋qd21．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()A．4B．5C．6D．7[解析]∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5，∴2a5＝12，∴a5＝6.C2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6[解析]根据题意知a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.故选B．BA3．若一个等差数列{an}中，a2＝3，a7＝6，则其公差为()A．35B．53C．－35D．－53[解析]a7－a2＝5d，∴5d＝3，d＝35.A4．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝()A．3B．－3C．32D．－32[解析]∵a4＋a5＝15，∴a2＋a7＝a4＋a5＝15，又a7＝12.∴a2＝3.5．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝____________.[解析]本题考查等差数列．由题意知：c－a＝2d,9－2＝4d，∴c－a＝72.72互动探究学案命题方向1⇨运用等差数列性质an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)解题B例题1若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为()A．p＋qB．0C．－(p＋q)D．p＋q2[分析]本题可用通项公式求解．利用关系式an＝am＋(n－m)d求解．利用一次函数图像求解．[解析]解法一：∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，∴a1＋p－1d＝q①a1＋q－1d＝p②①－②，得(p－q)d＝q－p.∵p≠q，∴d＝－1.代入①，有a1＋(p－1)(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.故ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)(－1)＝0.∴应选B．解法二：∵ap＝aq＋(p－q)d，∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.∵p≠q，∴d＝－1.故ap＋q＝ap＋[(p＋q－p)]d＝q＋q(－1)＝0.∴应选B．解法三：不妨设pq，由于等差数列中，an关于n的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p，ap)，(q，aq)，(p＋q，ap＋q)共线．设ap＋q＝m，由已知，得三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，m)共线(如图)．由△ABE∽△BCF，得AEBE＝BFFC.∴q－pq－p＝p－mp＋q－q.∴1＝p－mp.得m＝0，即ap＋q＝0.∴应选B．『规律总结』本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的．第二种方法使用的是通项公式的推广形式an＝am＋(n－m)d.第三种方法使用的是函数的思想，通过点(p，ap)，(q，aq)，(p＋q，ap＋q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法．〔跟踪练习1〕已知若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析]解法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d∴a1＋14d＝8a1＋59d＝20，解得a1＝6415d＝415∴a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.解法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．∴a60＝a15＋3d，∴d＝4.∴a75＝a60＋d＝24.解法三：∵a60＝a15＋(60－15)d∴d＝a60－a1560－15＝415.∴a75＝a60＋(75－60)d＝24.命题方向2⇨运用等差数列性质am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a6＋a20＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d；(3)已知a1＋3a8＋a15＝120，求3a9－a11.[分析]使用等差数列的性质，在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋)．例题2[解析](1)由等差数列的性质知a2＋a24＝a6＋a20＝2a13，根据已知条件a2＋a6＋a20＋a24＝48，得4a13＝48，解得a13＝12.(2)由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4，根据已知条件a2＋a3＋a4＋a5＝34，得a2＋a5＝17，由a2＋a5＝17，a2·a5＝52，解得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4，故d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.(3)∵a1＋a15＝2a8，∴a8＝24.∴3a9－a11＝a9＋2a9－a11＝a9＋a7＝2a8＝48.『规律总结』在等差数列中，若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak(m，n，p，q，k都是正整数)是一条重要性质，利用该性质可大大简化运算过程，另外d＝am＋anm－n，2an＝an－m＋an＋m在解题中应用也很广泛．〔跟踪练习2〕在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．50[解析]∵a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，又∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴5a7＝100，∴a7＝20，∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝3a7＋6d－a7－6d＝2a7＝40.C命题方向3⇨灵活设项求解等差数列问题(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[分析](1)根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．例题3[解析](1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，∴a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，∴d0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.『规律总结』利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般的有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．〔跟踪练习3〕已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．[解析]解法一：设这四个数中的第一个数为a1，公差为d，则由已知条件得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，即2a1＋3d＝13，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3或a1＝11，d＝－3.所以这四个数分别是2,5,8,11或11,8,5,2.解法二：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由已知条件得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26a－da＋d＝40即4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝32或a＝132，d＝－32.当a＝132，d＝32时，这四个数分别是2,5,8,11；当a＝132，d＝－32时，这四个数分别是11,8,5,2.例题4已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，该数列从第几项开始为正数．[误解]∵a51＝a11＋40d，∴d＝54＋2640＝2.∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)＝2n－48.由an≥0，得2n－48≥0，∴n≥24.即从第24项开始，各项为正数．[辨析]误解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n＝24时，此时a24＝0.[正解]∵a51＝a11＋40d，∴d＝54＋2640＝2.∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)＝2n－48.由an≥0，得2n－48≥0，∴n≥24.显然当n≥25时，an0.即从第25项开始，各项为正数．等差数列的性质若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aqm、n、p、q∈N*ak，ak＋m，ak＋2m，…成等差数列{λan＋b}成等差数列若{an}，{bn}成等差数列，则{an±bn}成等差数列