2020-2021学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修

4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个位置关系相交相切相离方法几何法:设圆心到直线的距离d=drd=rdr代数法:由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ0Δ=0Δ022AaBbCAB222AxByC0xaybr【思考】利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单?提示:一般几何法较为简单.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线.()(2)过圆内一点作一条直线,则该直线一定与圆相交.()(3)如果一条直线与圆相交,所得的弦长是圆的弦中最长的,那么这条直线一定过圆心.()提示:(1)×.当点在圆上时,只能作圆的一条切线.(2)√.过圆内的一点作直线,一定与圆有两个交点,因此一定相交.(3)√.直径是圆的最长弦,因此直线一定过圆心.2.直线y=2x-6+2与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系为()A.相离B.相切C.相交且经过圆心D.相交但不经过圆心10【解析】选B.化圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=8,可得圆心坐标为(2,-2),半径为r=2.因为圆心到直线y=2x-6+2的距离所以直线y=2x-6+2与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系为相切.2102226210d22r5｜｜＝＝．103.直线x-y=0与圆(x-2)2+y2=4交于点A,B,则|AB|=________.【解析】圆心到直线的距离d==,半径r=2,所以|AB|=答案:|20|2－2222rd22.－＝22类型一直线与圆的位置关系的判断【典例】1.已知a,b∈R,a2+b2≠0,则直线l:ax+by=0与圆C:x2+y2+ax+by=0的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.不能确定2.(2019·青岛高一检测)过点(0,4)的直线l与x2+y2=4相交,则直线l的倾斜角α的范围是__________.【思维·引】1.表示出圆的半径、圆心到直线的距离然后作出判断.2.首先验证斜率不存在时是否符合题意,然后设出直线方程,利用直线与圆相切的条件求斜率及倾斜角的范围.【解析】1.选C.圆C的圆心C,半径r==,因为圆心C到直线l的距离d=所以直线l与圆C的位置关系是相切.ab(,)2222ab422ab222ab|a()b()|22ab＝22abr2＝，2.当直线l的倾斜角为90°时,显然满足题意;当直线l的倾斜角不等于90°时,存在斜率,设为k,则直线l:y=kx+4,即kx-y+4=0,依题意圆心(0,0)到直线l的距离小于半径2,所以2,解得:k或k-,所以倾斜角所以倾斜角60°α90°或90°α120°，综上所述:倾斜角α的取值范围是60°α120°.24k133答案：60°α120°【内化·悟】判断直线与圆的位置关系需要明确哪些要素?提示:必须要明确圆心、半径、圆心到直线的距离.【类题·通】直线与圆的位置关系的判定有两种方法(1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究,若有两组不同的实数解,即Δ0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实数解,即Δ0,则相离.(2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当dr时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当dr时,直线与圆相离.【习练·破】(2019·安庆高一检测)对于a∈R,直线l:(a-1)x-y+a+1=0和圆C:x2+y2-4x-12=0,则直线l与圆C的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.以上三种位置均有可能【解析】选A.直线l:(a-1)x-y+a+1=0恒过(-1,2),圆C:x2+y2-4x-12=0化为(x-2)2+y2=16,则圆的圆心为(2,0),半径为4.因为(-1,2)与(2,0)的距离为4,所以直线恒过的定点在圆内,所以直线与圆相交.13【加练·固】对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【解析】选C.易知直线过定点(0,1),且点(0,1)在圆内,但是直线不过圆心(0,0).类型二直线与圆的相切问题【典例】1.(2019·重庆高一检测)若点P(2,1)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为()A.2x+y-5=0B.x-2y=0C.2x+y+3=0D.x=22.以P(1,2)为圆心,且与直线3x-4y-5=0相切的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-2)2=2B.(x-1)2+(y-2)2=4C.(x+1)2+(y+2)2=2D.(x+1)2+(y+2)2=43.(2019·常熟高一检测)若直线ax+by+7=0与圆x2+y2+4x-1=0切于点P(-3,2),则ab的值为________.【思维·引】1.利用切线与过切点的半径垂直求出斜率后写方程.2.利用直线与圆相切求出圆的半径后写出圆的方程.3.利用点P在切线上及圆的切线性质解题.【解析】1.选A.由题意可得OP和切线垂直,因为kOP=,所以切线的斜率为-2,故切线的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.2.选B.圆心P(1,2)到直线3x-4y-5=0的距离为r=d=所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.122231425234｜｜＝，3.把圆的方程化为标准方程得:(x+2)2+y2=5,则圆心坐标为(-2,0),则过圆心与P的直线的斜率k==-2,而直线ax+by+7=0的斜率为-,所以-2·=-1,化简得:2a=-b①,2032aba()b把P点坐标代入ax+by+7=0得:-3a+2b+7=0②,把①代入②解得a=1,把a=1代入①解得b=-2,则ab=-2.答案:-2【内化·悟】解决与切线相关的问题时,主要用到哪些切线的性质?提示:主要用到:圆心到切线的距离等于半径、过切点的半径垂直于切线,过切点且与切线垂直的直线过圆心等.【类题·通】过一点的圆的切线方程的求法(1)点(x0,y0)在圆上.①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.1k②如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.(2)点(x0,y0)在圆外.①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.【习练·破】过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.【解析】因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,所以=1,即|k+4|=,所以k2+8k+16=k2+1,解得k=-.所以切线方程为y+3=-(x-4),即15x+8y-36=0.2|3k134k|k1－－－＋2k1＋158158(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.【加练·固】已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是()A.5B.4C.3D.2【解析】选C.结合图形,可知直线x=a要与圆(x-1)2+y2=4相切,则a=3或-1,因为a0,所以a=3.类型三直线与圆的相交问题角度1求弦长【典例】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为________.【思维·引】利用弦长、弦心距、半径的关系求弦长.【解析】方法一:圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1),半径r=.点(0,1)到直线l的距离为d=弦长=所以截得的弦长为.答案:522|3016|10231＋－＝，＋222rd10－＝，1010方法二:设直线l与圆C交于A,B两点.由得交点A(1,3),B(2,0),所以弦AB的长为|AB|=答案:223xy60xy2y40＋－＝，＋－－＝，22(21)(03)10.－＋－10方法三:设直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由得x2-3x+2=0,则x1+x2=3,x1x2=2,所以|AB|=答案:223xy60,xy2y40,221212xxyy222212121222221212xxkxx1kxx1kxx4xx133810.［］［］10【素养·探】在与弦长有关的问题中,常常用到核心素养中的数学运算,通过圆的半径、弦心距、弦长的关系或利用方程解决相关的问题.本例中,若过点P(1,5)的直线与圆C相交,弦长为4,求直线l的方程.【解析】圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1),半径r=,因为弦长为4,所以圆心到直线的距离为=1,当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=1,令x=1,由1+y2-2y-4=0,即y2-2y-3=0,解得y=-1或3,弦长为4,符合题意;当直线的斜率存在时,设直554线方程为y-5=k(x-1),即kx-y+5-k=0,则=1,即|4-k|=,解得k=,直线方程为x-y+5-=0,即15x-8y+25=0,所以所求的直线方程为x=1或15x-8y+25=0.2015kk1｜｜2k1158158158角度2综合性问题【典例】已知圆M与直线x=2相切,圆心在直线x+y=0上,且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2,求圆的方程.2【思维·引】利用圆心在直线上设出圆心,利用圆与x=2相切,弦长为2构造方程组求解.2【解析】因为圆心在直线x+y=0上,所以设圆心M(a,-a),因为圆M与直线x=2相切,且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2,所以解得所以圆的方程为x2+y2=4.22ra2,2a1r2,2｜｜a0,?r2,【类题·通】1.求圆的弦长的两个方法圆的性质利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长2()2l2.与弦长相关的问题利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组,解出其中的未知量.【习练·破】1.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.456【解析】选C.圆的方程可化为C:(x-1)2+(y-2)2=5,其圆心为C(1,2),半径r=.取弦AB的中点P,连接CP,则CP⊥AB,圆心C到直线AB的距离d=|CP|==1,在Rt△ACP中,|AP|==2,故直线被圆截得的弦长|AB|=4.522|1455|12＋－＋＋22rd－2.(2019·重庆高一检测)已知圆C过点(1,1),圆心在x轴正半轴上,且与直线y=x-4相切.(1)求圆C的标准方程.(2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.【解析】(1)由题意设圆心坐标为C(a,0)(a0),由题意,解得a=-6(舍)或a=2,所以圆的半径为r=则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=2.22a4a1012｜｜，242,2｜｜(2)若斜率不存在,则直线方程为x=1,弦心距d=1,半径为,则|AB|=2=2,符合题意.若斜率存在,设直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.弦心距d=