2020-2021学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2

第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x0,y0),半径为r的圆的标准方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,特别地,圆心在原点时,圆的标准方程为x2+y2=r2.【思考】(1)如果圆的标准方程为(x+x0)2+(y+y0)2=a2(a≠0),那么圆的圆心、半径分别是什么?提示:圆心为(-x0,-y0),半径为|a|.(2)如果点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,那么=r2,若点P在圆内呢?圆外呢?提示:若点P在圆内,则r2;若点P在圆外,则r2.2200xy2200xy2200xy【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)圆的标准方程由圆心、半径确定.()(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.()(3)原点在圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2上,则=r2.()2200xy提示:(1)√.如果圆的圆心位置、半径确定,圆的标准方程是确定的.(2)×.当m=0时,表示点(a,b).(3)√.原点在圆上,则(0-x0)2+(0-y0)2=r2,即=r2.2200xy2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=25B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53D.(x-2)2+(y+3)2=13【解析】选D.半径r=则以C(2,-3)为圆心的圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.22225213329413，3.下列各点在圆x2+(y-2)2=1上的是()A.(1,0)B.(1,1)C.(1,2)D.(1,3)【解析】选C.由于12+(0-2)2=5≠1,故排除A;由于12+(1-2)2=2≠1,故排除B;由于12+(2-2)2=1,故选项C满足条件;由于12+(3-2)2=2≠1,故排除D.类型一圆的标准方程求法角度1直接法【典例】(2019·淮南高一检测)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,3)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.x2+(y-3)2=1D.x2+(y+3)2=1【思维·引】根据圆心在y轴设出方程,求未知数.【解析】选C.由题意,设圆的标准方程为x2+(y-b)2=1,由于圆过点(1,3),可得1+(3-b)2=1,解得b=3,所以所求圆的方程为x2+(y-3)2=1.角度2待定系数法【典例】若圆经过点(2,0),(0,4),(0,2),求圆的标准方程.【思维·引】设出圆的标准方程,列方程组求系数.【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆经过点(2,0),(0,4),(0,2),将已知点代入方程得:解得所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=10.2222222222a0br,0a4br 0a2br,，a3,b3,r10,【素养·探】在求圆的标准方程过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过列、解方程组求出圆心、半径后得到圆的标准方程.将本例中的三个点改为(0,0),(1,1),(4,2),求圆的标准方程.【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有解得所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.222222222abr(1a)1br 4a2br＋＝，－＋＝，（），a4?b3 r5.＝，＝，＝角度3几何性质法【典例】1.(2019·合肥高一检测)已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+4)2=100B.(x+3)2+(y-4)2=100C.(x-3)2+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=252.(2019·武邑高一检测)已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上,并且经过A(2,-3)和B(-2,-5),求圆C的标准方程.【思维·引】1.求出圆心C的坐标,再分别求出要求圆的圆心,半径后写出圆的标准方程.2.圆心在已知直线、弦AB的垂直平分线上,求出圆心后求半径.【解析】1.选C.圆C的圆心坐标C(6,8),则OC的中点坐标为E(3,4),半径|OE|==5,则以OC为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.22342.由已知得线段AB的中垂线所在直线与直线x-2y-3=0的交点即为圆C的圆心.线段AB的斜率为:kAB=所以线段AB的中垂线所在直线的斜率为-=-2,又因为线段AB的中点为(0,-4),所以线段AB的中垂线所在直线方程为:y+4=-2x,即2x+y+4=0.351222，AB1k由求得所以圆C的圆心坐标为(-1,-2),所以圆C的半径r满足:r2=(2+1)2+(-3+2)2=10,所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.x2y30,2xy40，x1,y2，【类题·通】1.直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定,因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程.2.待定系数法,圆心(a,b)、半径为r,特殊位置标准方程圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a23.利用圆的性质求方程求圆的方程时,可以利用圆的性质求圆心、半径,如弦的垂直平分线过圆心,过切点垂直于切线的直线过圆心等.【习练·破】1.已知圆心在点P(-2,3),并且与y轴相切,则该圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=4B.(x+2)2+(y-3)2=4C.(x-2)2+(y+3)2=9D.(x+2)2+(y-3)2=9【解析】选B.因为圆心点P(-2,3)到y轴的距离为|-2|=2,且圆与y轴相切,所以圆的半径为2,则该圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.2.(2019·张家界高一检测)圆C的圆心为点(8,3),且经过点A(5,1),则圆C的方程为________.【解析】因为圆C的圆心为点(8,3),且经过点A(5,1),所以半径为所以圆C的方程为(x-8)2+(y-3)2=13.答案:(x-8)2+(y-3)2=1322853113（）（），3.(2019·牡丹江高一检测)已知圆经过A(2,4),B(3,5)两点,且圆心C在直线2x-y-2=0上,求圆C的方程.【解析】因为圆C经过A(2,4),B(3,5)两点,所以圆心C在线段AB的垂直平分线y=-x+7上,又因为圆心C在直线2x-y-2=0上,所以联立解得C(3,4),圆C的半径r=|AC|==1,所以圆C的方程是(x-3)2+(y-4)2=1.yx72xy20，，222344【加练·固】1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】选A.设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),由于圆心坐标为(2,-3),所以a=4,b=-6,所以圆的半径r=从而所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13.22420313＝，2.(2019·潍坊高一检测)经过A(4,0),B(2,0)两点,且圆心在直线x-y+1=0上的圆的方程为()A.(x-3)2+(y-4)2=17B.(x-4)2+(y-5)2=25C.(x-3)2+(y+4)2=17D.(x+4)2+(y+5)2=25【解析】选A.过A(4,0),B(2,0)两点的中垂线的方程为x=3,联立解得所以圆心坐标为(3,4),半径r=所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=17.x3xy10，，x3?y4，，22344017（）（），类型二点与圆的位置关系【典例】1.(2019·赣州高一检测)已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外2.(2019·慈溪高一检测)点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值范围是()A.-1a1B.aC.-aD.-a1131131131515【思维·引】1.代入点的坐标,判断不等号的方向.2.代入点的坐标,解不等式求范围.【解析】1.选C.因为(3-2)2+(2-3)2=24,所以点P(3,2)在圆内.2.选D.由圆(x-1)2+y2=1,得到圆心坐标为(1,0),半径r=1,点P在圆(x-1)2+y2=1的内部,所以(5a+1-1)2+(12a)21⇔|a|,所以-a.113113113【内化·悟】点P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,当点P在圆外、圆内时满足的关系式是什么?提示:当点P在圆外时,(x0-a)2+(y0-b)2r2;当点P在圆内时,(x0-a)2+(y0-b)2r2.【类题·通】点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断:①几何法:判断点到圆心的距离与半径的大小;②代数法:将点的坐标代入圆的方程左边,判断与r2的大小.(2)位置关系的应用:代入点的坐标,利用不等式求参数的范围.【习练·破】已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系.【解析】因为圆心是C(-3,-4),且经过原点,所以圆的半径r==5,所以圆的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为所以P1(-1,0)在圆内;223040221304416255.因为=5,所以P2(1,-1)在圆上;因为=65,所以P3(3,-4)在圆外.221314223344【加练·固】(2019·东安高一检测)点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,1)C.D.1(1)5，1(,1)5【解析】选D.因为点(2a,a-1)在圆的内部,所以解得-a1,所以a的取值范围是22222d2aa24aa4a45a4a45（）＜，151(,1)5．