2020-2021学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离1.点到直线的距离点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.0022AxByCAB【思考】能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.2.两条平行直线间的距离直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离.1222|CC|dAB【思考】直线l1,l2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离?提示:直线l1,l2的方程必须是一般式,且一次项系数A,B相同.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.()(2)直线外一点与直线距离的最小值就是点到直线的距离.()02kxb1k(3)两条平行线x+y-1=0,2x+2y+5=0之间的距离是d==3.()2215112提示:(1)×.应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式,即本问题的距离为.(2)√.因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直线的距离.002kxyb1k(3)×.虽然两条平行直线的方程均为一般式方程,但是两直线方程中,x,y的系数不满足分别相等.2.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离为()A.2B.3C.4D.5【解析】选A.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离为d=2255234｜｜．3.点M(-3,4)到直线l:x-y+3=0的距离为______.【解析】由题意得:d=答案:234322.11｜｜2类型一点到直线距离公式的应用【典例】1.(2019·宜昌高一检测)若点到直线l:x+3y+m=0(m0)的距离为,则m=()A.7B.C.14D.171(0)2，101722.(2019·北京高一检测)已知O为原点,点P在直线x+y-1=0上运动,那么|OP|的最小值为()A.B.1C.D.23.(2019·武侯高一检测)当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为________.2222【思维·引】1.代入距离公式,列方程求解.2.|OP|的最小值即O到直线的距离.3.求出直线所过的定点,确定距离最大时直线的位置后求m值.【解析】1.选B.由题意可得:m0,解得m=.2.选A.|OP|的最小值为原点O到直线x+y-1=0的距离d=221|03m|21013，172|01|222．3.直线mx-y+1-2m=0可化为y-1=m(x-2),由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m,结合图象可知当PQ与直线mx-y+1-2m=0垂直时,点到直线距离最大,此时m·=-1,解得m=-1.答案:-12132【内化·悟】解决与点到直线距离的最值有关的问题时,需要注意什么?提示:需要结合点到直线的几何意义、直线的位置关系解题.【类题·通】点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线的距离公式即可.(2)若已知点到直线的距离求参数值时,只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.【习练·破】1.点F(,0)到直线x-y=0的距离为()A.B.mC.3D.3m3m333m33【解析】选A.点F到直线x-y=0的距离为33m22|3m1|3(3)(3m)．2.过点A(1,2),且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=0【解析】选A.当与直线OA垂直时距离最大,因直线OA的斜率为2,所以所求直线斜率为-,所以由点斜式方程得:y-2=-(x-1),化简得:x+2y-5=0.1212【加练·固】点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是()【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:d=21A.2B.C.1D.22|11|22．类型二两条平行直线间距离公式的应用【典例】1.直线3x+4y-2=0和直线6x+8y+1=0的距离是()3131A.B.C.D.521052.(2019·张家界高一检测)直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,则两直线间的距离为()2113A.B.13C.21D.1313【思维·引】1.将x,y的系数变为相同后代入公式求距离.2.先利用平行关系求出m,再代入两条平行直线的距离公式求值.【解析】1.选B.直线3x+4y-2=0和直线6x+8y+1=0,即直线6x+8y-4=0和直线6x+8y+1=0,两条直线的距离是d=411.23664｜｜2.选B.因为直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,所以所以m=9,故平行直线即6x+9y-27=0与直线6x+9y+12=0,距离为6m12239，22122713.69｜｜【内化·悟】应用两条平行直线距离公式的前提是什么?提示:两条直线方程中x,y的系数相同.【类题·通】两条平行线距离的求法(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线的距离公式.(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.【习练·破】1.(2019·石家庄高一检测)P,Q分别为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()95A.B.C.3D.652【解析】选B.因为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0是平行线,即3x+4y-10=0与3x+4y+=0,所以|PQ|的最小值d=52225|10|52.2342.(2019·鄂尔多斯高一检测)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距离相等,则l的方程为________.【解析】由题意,设直线l:2x-y+m=0,-1m3,因为所以m=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.答案:2x-y+1=0m3m155｜｜｜｜，【加练·固】与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是()A.2x+y=0B.2x+y-2=0C.2x+y=0或2x+y-2=0D.2x+y=0或2x+y+2=055【解析】选D.设所求的直线方程是2x+y+m=0,则解得m=0或m=2,故所求的直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.m1555｜｜，类型三距离公式的综合应用角度1距离几何意义的应用【典例】(2019·西城高一检测)若P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是()A.8B.2C.D.1622【思维·引】将x2+y2变形,转化为点到直线的距离求最小值.【解析】选A.因为x2+y2≥0,所以表示直线上的点到原点的距离,所以原点到直线的距离d=所以的最小值为2,所以x2+y2的最小值为8.22xy004222｜｜，22xy2【素养·探】在距离公式的应用过程中,常常用到核心素养中的直观想象,通过对式子的变形,转化为两点、点到线的距离,即给式子赋予其几何意义,利用图形的性质解题.本例的条件不变,试求的最小值.22xy2x4y5【解析】表示直线上的点(x,y)与点(1,2)的距离,其最小值即点(1,2)到直线x+y-4=0的距离,故最小值为2222xy2x4y5x1y2，221242.211｜｜角度2距离公式的综合应用【典例】(2019·台州高一检测)已知坐标平面上三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),过点C作AB的平行线交x轴于点D,(1)求点D的坐标.(2)求四边形ABCD的面积.【思维·引】(1)求出过点C与AB平行的直线方程,求出与x轴的交点.(2)先判断四边形的形状,再利用面积公式求值.【解析】(1)根据题意,A(5,1),B(7,-3),则kAB==-2,又由AB∥CD知,kCD=-2,则直线CD的方程为y+8=-2(x-2),即2x+y+4=0.令y=0,解得x=-2,则D(-2,0).1357(2)因为|AB|=2,|CD|=4,AB∥CD,故四边形ABCD为梯形,点A(5,1)到直线CD:2x+y+4=0的距离为所以四边形ABCD的面积S=×(2+4)×3=45.551014355｜｜，12555【类题·通】距离公式综合应用的三种常见类型(1)最值问题.①利用对称转化为两点之间的距离问题.②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.(2)求参数问题.利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值.(3)求方程的问题.立足确定直线的几何要素——点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助三种距离公式求解.【习练·破】(2019·武汉高一检测)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n=()A.3B.-17C.2D.3或-175【解析】选A.由题意可得两条平行直线l1:2x-4y+2m=0(m0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,所以n=-4,所以m=7,所以m+n=3.52m625416｜｜，【加练·固】已知x+y-3=0,则的最小值为________.22x2y1【解析】设P(x,y),A(2,-1),且点P在直线x+y-3=0上,=|PA|,|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离,为d=答案:22x2y1222132.112