2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 3 基本不等式 第2课时 基本不等式与最大（小）值课

第三章不等式§3基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值自主预习学案下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能用这个图来解释一下基本不等式a＋b2≥ab吗？1．两个常用命题x、y都为正数时，下面的命题成立．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值__________；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值__________.s242p2．基本不等式的变形公式(1)ab≤a2＋b22；(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；(3)(ab)2≥2ab－1(b≠0)；(4)ab≤(a＋b2)2；(5)a＋1a≥2(a∈R＋)．任意实数3．不等式a2＋b22≥ab和a＋b2≥ab的区别与联系(1)a2＋b22≥ab与a＋b2≥ab成立的条件不同．前者中的a、b为__________，后者中的a、b只能取__________.(2)两个不等式都是__________________时取到等号，这一点在求最值时经常用到．非负实数当且仅当a＝bD1．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是()A．y＝x＋4xB．y＝lgx＋1lgxC．y＝x2＋1＋1x2＋1D．y＝x2－2x＋3[解析]x取正数时，A选项中y≥4，B选项中y可为负值，C选项中x2＋11，则y2，只有D选项通过配方易得y≥2.C2．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋2B．1＋3C．3D．4[解析]该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题．f(x)＝x＋1x－2(x2)＝x－2＋1x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4.当且仅当x－2＝1x－2即(x－2)2＝1，∵x2，∴x－20，∴x－2＝1，即a＝3.D3．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝12(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5a3＋a92，则P与Q的大小关系是()A．P≥QB．PQC．P≤QD．PQ[解析]P＝12(log0.5a5＋log0.5a7)＝12log0.5(a5a7)＝log0.5a6，Q＝log0.5a3＋a92log0.5a3a9＝log0.5a6，所以PQ.94．若x0，则3＋3x＋3x的最小值为__________.[解析]∵x0，∴3＋3x＋3x≥3＋23x·3x＝3＋2×3＝9.当且仅当x＝1时，取等号．5．设x，y∈R，且x＋y＝3，则2x＋2y的最小值为__________.42[解析]∵x＋y＝3，∴y＝3－x，∴2x＋2y＝2x＋23－x＝2x＋82x≥22x·82x＝42，当且仅当2x＝82x，即2x＝22，∴x＝32，y＝32时，等号成立．别解：2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝223＝42(当且仅当x＝y＝32时取等号)互动探究学案命题方向1⇨利用基本不等式求最值例题1求函数y＝x4＋3x2＋3x2＋1的最小值．[分析]若把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可构造成能利用基本不等式的形式．[解析]令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1，∴y＝x4＋3x2＋3x2＋1＝t－12＋3t－1＋3t＝t2＋t＋1t＝t＋1t＋1.∵t≥1，∴t＋1t≥2t·1t＝2，当且仅当t＝1t，即t＝1时等号成立．∴当x＝0时，函数取得最小值3.『规律总结』把已知函数解析式通过通分、配方、拆项等操作便可转化成能利用基本不等式的形式．〔跟踪练习1〕当x0时，求f(x)＝2xx2＋1的值域．[解析]∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x.∵x＋1x≥2，∴01x＋1x≤12.∴0f(x)≤1.当且仅当x＝1时取“＝”号．所以函数f(x)＝2xx2＋1的值域为(0,1]．命题方向2⇨利用均值不等式证明不等式例题2已知a，b都是正数，且a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.[分析]结合条件a＋b＝1，将不等式左边进行适当变形，然后利用均值不等式进行放缩即可．[证明]解法1：∵a0，b0，且a＋b＝1，∴(1＋1a)(1＋1b)＝(1＋a＋ba)(1＋a＋bb)＝(2＋ba)(2＋ab)＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4ba·ab＝9.当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时取“＝”．∴(1＋1a)(1＋1b)≥9.解法2：(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1b＋1a＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab∵a＋b＝1，∴(1＋1a)(1＋1b)＝1＋2ab又∵a0，b0，∴ab≤(a＋b2)2＝14，∴1ab≥4，当且仅当a＝b＝12时取“＝”，∴(1＋1a)(1＋1b)≥1＋2×4＝9.『规律总结』(1)利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到．〔跟踪练习2〕已知a、b、c为正数，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc≥3.[证明]左边＝ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－1＝(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)－3.∵a，b，c为正数，∴ba＋ab≥2(当且仅当a＝b时取“＝”号)；ca＋ac≥2(当且仅当a＝c时取“＝”号)；cb＋bc≥2(当且仅当b＝c时取“＝”号)．从而(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．∴(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)－3≥3.即b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc≥3.命题方向2⇨不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法例题3已知a、b、c是正实数求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.[分析]由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式．[证明]∵a、b、c是正实数，∴bca＋acb≥2bca·acb＝2c(当且仅当bca＝acb，即a＝b时，取等号)；acb＋abc≥2acb·abc＝2a(当且仅当acb＝abc，即b＝c时，取等号)；abc＋bca≥2abc·bca＝2b(当且仅当bca＝abc，即a＝c时，取等号)．上面三个不等式相加得2·bca＋2·acb＋2·abc≥2a＋2b＋2c(当且仅当a＝b＝c时，取等号)．∴bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.『规律总结』1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立．2．对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论．〔跟踪练习3〕已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.[证明]∵a2＋b22ab，b2＋c22bc，c2＋a22ca，以上三式相加得：2(a2＋b2＋c2)2ab＋2bc＋2ca，∴a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.命题方向4⇨利用基本不等式求参数的范围若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．例题4[分析]由ab＝a＋b＋3出发，求ab的范围，关键是寻找ab与a＋b之间的联系，由此想到基本不等式a＋b≥2ab.[解析]令ab＝t(t0)．∵a，b均为正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即得t2≥2t＋3，解得t≥3或t≤－1(舍去)，∴ab≥3，故ab≥9，∴ab的取值范围是[9，＋∞)．『规律总结』均值不等式是联系相乘与相加的基本不等式，解题时，应灵活运用．〔跟踪练习4〕设abc且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．[解析]由abc，知a－b0，a－c0，b－c0.因此，原不等式等价于a－ca－b＋a－cb－c≥m，a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4.当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即当2b＝a＋c或a＝c(舍去)时，等号成立，∴m≤4.命题方向5⇨实际应用问题如右图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．例题5(1)现有可围36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[分析]设每间虎笼长xm，宽ym，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用均值定理解决．[解析]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝182x＝3y，解得x＝4.5y＝3故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴9－32y0，∴0＜y＜6，S＝xy＝9－32yy＝32(6－y)·y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0，∴S≤32·6－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．解法二：由xy＝24得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616y＋y≥6×216y·y＝48.当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．『规律总结』求解应用题的方法与步骤．(1)审题．(2)建模(列式)．(3)解模．(4)作答．〔跟踪练习5〕某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？[分析]年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费、保险费、汽油费以及维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用．[解析]设使用x年平均费用最少．由条件知：汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x年总的维修费用为0.2＋0.2x·x2万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y＝10＋0.9x＋0.2＋0.2x·x2x＝10＋x＋0.1x2x＝1＋10x＋x10≥1＋210x·x10＝3.当且仅当10x＝x10，即x＝10时，y取最小值．答：汽车使用10年平均费用最少．例题6已知0x1，求函数f(x)＝3＋lgx＋4lgx的最值．[误解]f(x)＝3＋lgx＋4lgx≥3＋2lgx·4lgx＝3＋2×2＝7，∴f(x)min＝7.[辨析]∵0x1，∴lgx0，4lgx0，不满足“各项必须全为正数”这一前提条件，不能直接应用基本不等式．[正解]∵0x1，∴lgx0，4lgx0，∴－lgx0，－4lgx0，∴(－lgx)＋(－4lgx)≥2－lgx·－4lgx＝4，当且仅当－lgx＝4－lgx，即lgx＝－2，x＝1100时，取等号．∴lgx＋4lgx≤－4.∴f(x)＝3＋lgx＋4lgx≤3＋(－4)＝－1.∴f(x)有最大值－1.基本不等式的应用利用基本不等式求最值利用基本不等式证明不等式解决实际应用问题