2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 3 基本不等式 第1课时 基本不等式课件 北师大版必

第三章不等式§3基本不等式第1课时基本不等式自主预习学案某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数a＋b2作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗？a＝b基本不等式如果a，b都是非负数，那么a＋b2≥ab，当且仅当__________时等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，其中a＋b2称为a，b的_______________，ab称为a，b的_____________.因此基本不等式又被称为______________.算术平均数几何平均数均值不等式两个正数的算术平均数不小于它们对于基本不等式，用文字语言可叙述为：___________________________________________.但从数列的角度看，可把a＋b2看作是正数a，b的__________，ab看作是正数a，b的正的__________，基本不等式又可叙述为：___________________________________________.的几何平均数等差中项等比中项两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项C1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是()A．12B．1C．2D．4[解析]xy≤x2＋y22＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．D2．若a、b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC．1a＋1b2abD．ba＋ab≥2[解析]本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断．用排除法：A：a＝b时不满足；B：a0，b0时不满足；C：a0，b0时不满足；D：ba0，ab0，ba＋ab≥2ba·ab＝2.3．(2019·浙江卷，5)若a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[解析]∵a0，b0，若a＋b≤4，∴2ab≤a＋b≤4.∴ab≤4，此时充分性成立．当a0，b0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝54，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a0，b0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．44．已知x0，函数y＝4x＋x的最小值为__________.[解析]∵x0，∴4x0，∴y＝x＋4x≥2x·4x＝4.5．x，y∈R，x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是__________.183[解析]3x0,3y0.∴3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝2·(3)5＝183，当且仅当x＝y＝52时等号成立．互动探究学案命题方向1⇨利用基本不等式比较代数式的大小例题1已知0＜a＜1,0b1，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中哪一个最大？[分析]由已知a，b均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决．[解析]方法一：∵a0，b0，∴a＋b≥2ab，a2＋b2≥2ab，∴四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2.又∵0＜a＜1,0b1，∴a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)0，∴a2＋b2a＋b，∴a＋b最大．方法二：令a＝b＝12，则a＋b＝1,2ab＝1，a2＋b2＝12，2ab＝2×12×12＝12，再令a＝12，b＝18，a＋b＝12＋18＝58，2ab＝212×18＝12，∴a＋b最大．『规律总结』运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性．B〔跟踪练习1〕设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D．abaa＋b2b[解析]法一：∵ba0，∴a＋b2ab，2ba＋b∴ba＋b2，∴aaba＋b2b.法二：取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5，∴aaba＋b2b.命题方向2⇨利用基本不等式求函数的最值例题2(1)已知0x13，求函数y＝x·(1－3x)的最大值；(2)已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，求此时a的值．[分析]利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．[解析](1)∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112，当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.(2)f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(x0，a0)，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立．此时f(x)取最小值4a，故有a2＝3，所以a＝36，故a的值为36.『规律总结』(1)在应用均值不等式ab≤a＋b2求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”．“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可．(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否一致，只有当各次应用基本不等式时“＝”号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则“＝”将不成立．(3)在利用均值不等式求值时，若“一正二定三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．而转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等．〔跟踪练习2〕(1)若x0，求函数f(x)＝12x＋3x的最小值；(2)若x0，求函数f(x)＝12x＋3x的最大值；(3)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．[解析](1)因为x0，所以12x0,3x0，所以f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝236＝12.当且仅当12x＝3x，即x＝2时，等号成立．所以当x＝2时，f(x)取得最小值12.(2)因为x0，所以－x0，所以－f(x)＝－12x＋(－3x)≥2－12x·－3x＝12，所以f(x)≤－12.当且仅当－12x＝－3x，即x＝－2时，等号成立．所以当x＝－2时，f(x)取得最大值－12.(3)因为x54，所以4x－50，即5－4x0，所以y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3.因为5－4x＋15－4x≥25－4x·15－4x＝2，所以y≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时等号成立，所以当x＝1时，函数y取得最大值1.命题方向3⇨变形技巧：“1”的代换例题3已知正数x，y满足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．[分析]灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式“乘以1”“除以1”或将不等式中的某个常数用等于1的式子代替．本例中可将分子中的1用x＋2y代替，也可以将式子1x＋1y乘以x＋2y.[解析]∵x，y为正数，且x＋2y＝1.∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋22.『规律总结』(1)本题若由1＝x＋2y≥22xy，得1xy≥22，∴1x＋1y≥21xy＝2xy≥42则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等式成立的条件是x＝2y＝12，后一个不等式则是在x＝y时成立．(2)也可以直接将1x＋1y的分子1代换为x＋2y，和乘以“1”是相同的．〔跟踪练习3〕已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[分析]要求x＋y的最小值，根据均值不等式定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等．[解析]解法一：(1的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy.∵x＞0，y＞0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.解法二：(消元法)由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.∵x＞0，y＞0，∴y＞9.x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y＞9，∴y－9＞0，∴y－9＋9y－9≥2y－9·9y－9＝6.当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号，此时，x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.解法三：(配凑法)由1x＋9y＝1得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2x－1y－9＝16.当且仅当x－1＝y－9时取等号．又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.例题4求函数y＝x＋1x的值域．[误解]∵y＝x＋1x≥2x·1x＝2等号在x＝1x，即x＝1成立，∴函数的值域是[2，＋∞)．[辨析]a＋b≥2ab是在a0，b0的条件下才成立，题目中没有限定x0，函数的定义域应是(－∞，0)∪(0，＋∞)，因此应分类讨论．[正解]显然函数y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号)，∴当x0时，y＝x＋1x有最小值2.当x0时，y＝x＋1x＝－(－x－1x)≤－2－x·－1x＝－2(当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时取等号)．∴当x0时，y＝x＋1x有最大值－2.∴函数y＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．基本不等式a＋b2≥aba，b∈R＋两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的等差中项不小于它们的等比中项变形技巧“1”的变换