2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 2 一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的应用课

第三章不等式§2一元二次不等式第2课时一元二次不等式的应用自主预习学案汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑向一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．“刹车距离”是分析事故的重要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了．事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12m，乙的刹车距离超过10m，又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2.S乙＝0.05x＋0.005x2，你能用所学知识分析一下，甲乙两车有无超速现象？Δ＝b2－4ac1．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数由判别式__________来确定．设x1、x2是该方程的两个根，则x1＋x2＝__________，x1·x2＝__________.2．分式不等式的解法__________含有未知数的不等式，叫作分式不等式．解该类不等式的关键是先把不等式的右边化成0，再把它转化成整式不等式．－baca分母里穿针引线法3．高次不等式的解法含有一个未知数，且未知数的最高次数高于2的整式不等式叫一元高次不等式．处理或解这类不等式我们常用“__________”，具体操作程序是：先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次或二次不可约因式积的形式且使最高次项的系数为正．令代数式等于0，求出相应方程的根，并把它们依次标在数轴上，然后用同一曲线按照自上而下，由右向左依次穿过(遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根不穿过)．这样数轴上方、下方及数轴上的点分别表示使代数式大于0、小于0及等于0的部分，最后依据不等式的符号写出不等式的解集．对于此类问题，只局限于a≠0时形如a(x－x1)(x－x2)(x－x3)0(或≥0，0，≤0)的不等式．4．解有关不等式应用题的步骤(1)__________.用字母表示题中的未知数．(2)________________.找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)_____________.运用不等式知识求解不等式(组)，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．(4)作答．规范地写出答案．设未知数列不等式(组)解不等式(组)A1．不等式x－3x＋20的解集为()A．{x|－2x3}B．{x|x－2}C．{x|x－2，或x3}D．{x|x3}[解析]不等式x－3x＋20可化为(x＋2)(x－3)0，∴－2x3，故选A．A2．不等式x－1x≥2的解集为()A．[－1,0)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)[解析]解法一：原不等式化为－x－1x≥0，即x(x＋1)≤0且x≠0，∴－1≤x0，故选A．解法二：排除法：x＝0时，不等式无意义，排除B；x＝－2时，原不等式化为32≥2，不成立，排除C、D，故选A．3．已知不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R，则()A．a0，Δ0B．a0，Δ0C．a0，Δ0D．a0，Δ0[解析]由题意知，二次函数y＝ax2＋bx＋c图像均在x轴下方，故a0，Δ0.BA4．不等式－11x1的解集为()A．{x|x－1或x1}B．{x|－1x0或0x1}C．{x|x0或x1}D．{x|x1}[解析]当x0时，由1x1得x1；当x0时，由1x－1得x－1，∴不等式的解集为{x|x1或x－1}．B5．不等式1x＋1(x－1)(x－2)2(x－3)0的解集是()A．(－1,1)∪(2,3)B．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C．(－∞，－1)∪(1,3)D．R[解析]利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．互动探究学案命题方向1⇨分式不等式的解法例题1解下列不等式：(1)x＋31－x0；(2)x＋1x－2≤2；(3)x2＋x－6x－2≥0；(4)x＋2x2＋x＋11.[分析]先化分式不等式为整式不等式，后求解．[解析](1)由x＋31－x0，得x＋3x－10，此不等式等价于(x＋3)(x－1)0，∴原不等式的解集为{x|x－3或x1}．(2)解法一：移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简，得－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，此不等式等价于x－2x－5≥0，x－2≠0，∴x2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．解法二：原不等式可化为x－5x－2≥0，此不等式等价于x－5≥0，x－20①或x－5≤0，x－20.②解①得x≥5，解②得x2，∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．(3)由x2＋x－6x－2≥0，得x＋3x－2x－2≥0，此不等式等价于x＋3≥0，x－2≠0.解之，得x≥－3且x≠2.∴原不等式的解集为{x|x≥－3且x≠2}．(4)解法一：移项得x＋2x2＋x＋1－10，∴1－x2x2＋x＋10，即x2－1x2＋x＋10，∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340，∴x2－10，解得－1x1.∴原不等式的解集为{x|－1x1}．解法二：∵x2＋x＋10，∴原不等式可化为x＋2x2＋x＋1，即x2－10，解得－1x1，∴原不等式的解集为{x|－1x1}．『规律总结』1.简单的分式不等式的求解，直接转化为一元二次不等式(或不等式组)即可，要注意分母不为0.2．分式不等式的四种形式及解题思路(1)fxgx0⇔f(x)g(x)0；(2)fxgx0⇔f(x)g(x)0；(3)fxgx≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0；(4)fxgx≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0.A〔跟踪练习1〕(1)下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)(2)不等式x＋5x－12≥2的解集是()A．[－3，12]B．[－12，3]C．[12，1)∪(1,3)D．[－12，1)∪(1,3]D[解析](1)本题考查了分式不等式解法等．由1xx知1x－x0，1－x2x0即x(1－x2)0，所以x－1或0x1；由1xx2知1x－x20，1－x3x0，即x(1－x3)0，所以x0或x1，所以x1xx2的解集为{x|x－1}，选A．简解：取x＝－2显然满足不等式．故选A．(2)x＋5x－12≥2⇔x＋5≥2x－12x－1≠0⇔－12≤x≤3x≠1，∴x∈[－12，1)∪(1,3]．命题方向2⇨简单高次不等式的解法解下列不等式：(1)(x＋1)(1－x)(x－2)0；(2)x3－2x2＋30；(3)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.[分析]通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答．例题2[解析](1)原不等式等价于(x－1)(x－2)(x＋1)0，令y＝(x－1)(x－2)(x＋1)，当y＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示可得不等式的解集为{x|x－1或1x2}．(2)原不等式可化为(x＋1)(x2－3x＋3)0，而对任意实数x，恒有x2－3x＋30(∵Δ＝(－3)2－120)．∴原不等式等价于x＋10，∴原不等式的解集为{x|x－1}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根，(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1，或x≥0}．『规律总结』解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：(1)所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误．(2)是否有多余的点，多余的点应去掉．(3)总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”，如上图．〔跟踪练习2〕解不等式(x－3)(x＋2)(x－1)2(x－4)0.[解析]令(x－3)(x＋2)(x－1)2(x－4)＝0，得各因式的根分别为－2,1,3,4.将各因式的根从小到大依次标在数轴上，如图∴原不等式的解集是{x|－2x1或1x3或x4}．命题方向3⇨不等式恒成立的问题关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋mx2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．[分析]首先考虑二次项系数是否为零，化简后，需要对m进行讨论．m≠0时，可利用三个“二次”之间的关系求解．例题3[解析]原不等式等价于mx2＋mx＋m－10对x∈R恒成立，当m＝0时，0·x2＋0·x－10对x∈R恒成立．当m≠0时，由题意，得m0Δ＝m2－4mm－10⇔m03m2－4m0⇔m0m0，或m43⇔m0.综上，m的取值范围为m≤0.『规律总结』一元二次不等式恒成立时满足条件(1)ax2＋bx＋c0恒成立(或解集为R)时，满足a0Δ0.(2)ax2＋bx＋c≥0恒成立(或解集为R)时，满足a0Δ≤0.(3)ax2＋bx＋c0恒成立(或解集为R)时，满足a0Δ0.(4)ax2＋bx＋c≤0恒成立(或解集为R)时，满足a0Δ≤0.〔跟踪练习3〕已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－10对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．[解析]若a＝0，则原不等式为－x－10，即x－1，不合题意．故a≠0.令f(x)＝ax2＋(a－1)x＋a－1，∵原不等式对任意x∈R都成立．∴二次函数f(x)的图像在x轴的下方．∴a0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)0.即a0a－13a＋10，∴a－13.故a的取值范围为(－∞，－13)．命题方向4⇨用一元二次不等式讨论一元二次方程的根关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，求m的取值范围．[分析]利用根与系数的关系或者相应二次函数的图像等价转化为不等式组求解．例题4[解析]方法一：利用判别式Δ及根与系数的关系求解．由题意得Δ＝[－m－1]2－4×1×2－m≥0x1＋x2＝m－10x1x2＝2－m0⇔m2＋2m－7≥0m1m2⇔m≤－1－22或m≥－1＋221m2⇔－1＋22≤m2.所以m的取值范围是－1＋22≤m2.方法二：利用相应的二次函数图像及一元二次方程根的分布求解．记f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，则由题意得f(x)的图像为：∴Δ＝[－m－1]2－4×1×2－m≥0f0＝2－m0x0＝m－120⇔m2＋2m－7≥0m2m1下同方法一．『规律总结』1.当Δ≥0时，方程才有实根，故在用根与系数的关系时不要忽略Δ.2.x10x20⇔x1＋x20x1x20，但x11x21⇔/x1＋x22x1x21，可以转化为前面的形式求解．即x11x21⇔x1－10x2－10⇔x1－1＋x2－10x1－1x2－10.3．此题为一元二次方程根的分布问题，数形结合法是解决此类问题的好方法．〔跟踪练习4〕已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两根一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围．[解析]∵关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0有两个不同实根，∴k≠0.又∵一个根小于1，一个根大于1，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，当k0时，有f(1)0，即2k－2－2－3k0，解得k－4，∴k0.当k0时，有f(1)0，即2k－2－3k－20，解得k－4，∴k