2020-2021学年高中数学 第二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问

第二章解三角形§3解三角形的实际应用举例第1课时距离和高度问题自主预习学案滑冰是一项集力量、耐力和速度于一身的运动项目．在第21届温哥华冬奥会上，有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点，A与B相距100m．如果甲从A出发，以8m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7m/s的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行．那么相遇时，甲滑行了多远呢？实际问题中的名词、术语1．铅直平面：与__________垂直的平面．2．基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫作基线．一般来说，基线越__________，测量的精确度越高．3．测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用__________和__________，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．海平面长正弦定理余弦定理4．方位角：从指正北方向__________时针转到目标方向的水平角．如图(1)所示．顺5．方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．①北偏东α°，即由指北方向_________旋转α°到达目标方向，如图(2)．②北偏西α°，即是由指北方向__________旋转α°到达目标方向．6．仰角与俯角：目标方向线(视线)与水平线的夹角中，当目标(视线)在水平线__________时，称为仰角，在水平线__________时，称为俯角，如图．顺时针逆时针上方下方D1．如图所示，D、C、B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D、C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10mB．53mC．5(3－1)mD．5(3＋1)m[解析]在△ADC中，由正弦定理得AD＝10sin135°sin15°＝10(3＋1)在Rt△ABD中，AB＝ADsin30°＝5(3＋1)(m)．2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午14时两船之间的距离是()A．50nmileB．70nmileC．90nmileD．110nmileB[解析]根据已知条件可作图如图在△AOB中，OA＝50，OB＝30，∠AOB＝120°，由余弦定理得AB2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，∴AB＝70(nmile)3．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b[解析]根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而a，b可以测得，角γ也可以测得，根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求出AB的长，故选C．C4．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为()A．αβB．α＝βC．αβD．α＋β＝90°[解析]由仰角、俯角的定义知，α与β互为内错角，所以α＝β.B5．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．6[解析]本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其他两边．∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠C＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理：ACsin∠CBA＝ABsin∠C，∴ACsin60°＝2sin45°，∴AC＝6.互动探究学案命题方向1⇨测量底部不可到达的建筑物的高度问题某人在塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40m后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．[分析]从C到D沿途测塔的仰角，只有测试点到B的距离最小时，仰角才最大，即当BE⊥DC时，∠AEB＝30°.对于本题可先求出BD或BC，再求出BE，即可求得AB．例题1[解析]如图所示，作BE⊥DC于E，连接AE，则∠AEB＝30°.在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，所以BD＝40sin30°sin135°＝202(m)．在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.所以BE＝BDsin15°＝202×sin15°＝202×6－24＝10(3－1)(m)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，所以AB＝BE·tan30°＝103(3－3)(m)．答：塔高为103(3－3)m.『规律总结』在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：①根据已知条件画出示意图．②分析与问题有关的三角形．③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．④把解出答案还原到实际问题中．还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想．与三角形有关的实际问题中的常用术语中，方向角与方位角极容易混淆．方位角是以正北方向为始边，按顺时针方向旋转一定角度(别记错旋转方向)，它的范围是(0,2π]；方向角的始边不一定是正北方向，旋转方向也不一定是顺时针，它的始边和旋转方向应视不同的情况而定，它的范围是(0，π2)．〔跟踪练习1〕如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝__________m.150[解析]本题考查解三角形中的应用举例．如图，在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝1002.在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知AMsin60°＝1002sin45°，∴AM＝1003.在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝150(m)．命题方向2⇨测量距离问题例题2在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．[分析]思路1：选择△ADC――→由条件得AD△BCD――→正弦定理BD――→余弦定理解△ADB得AB．思路2：选择△ADC――→由条件得AC△BCD――→正弦定理BC――→余弦定理解△ABC得AB．[解析]解法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝32a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得DBsin∠BCD＝CDsin∠DBC，∴BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝32a·6＋2422＝3＋34a.在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝34a2＋(3＋34a)2－2×32a·3＋34a·32＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部分的距离为64a.解法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝32a.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝CDsin45°，∴BC＝64a，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2－2×32a·64a·22＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.『规律总结』(1)求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解．(2)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作基线，如本例的CD．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时可直接利用正弦定理或余弦定理；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．〔跟踪练习2〕如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°.问货轮到达C点时与灯塔A的距离是多少？[分析]根据所给图形可以看出，在△ABC中，已知BC是半小时路程，只要根据所给的方位角数据，求出∠ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的长．[解析]在△ABC中，BC＝40×12＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理，得AC＝BC·sin∠ABCsinA＝20×sin30°sin45°＝102(km)．答：货轮到达C点时与灯塔A的距离是102km.命题方向3⇨综合应用问题例题3如下图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？[分析]甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B1B2即可．连接A1B2，转化为在△A1B1B2中已知两边及夹角求对边的问题．[解析]如上图，连接A1B2，∵A2B2＝102，∴A1A2＝2060×302＝102.∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，则B1B2＝102.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302.即乙船每小时航行302海里．『规律总结』仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入三角形中去解决是解此类问题的关键．解三角形应用题常见的两种情况(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法．(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．解三角形应用题要注意两点：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，理清量与量之间的关系．(2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．〔跟踪练习3〕海中有小岛A，已知A岛四周8海里内有暗礁．今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°，航行202海里后见此岛在北偏东30°.如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？[分析]如图所示，要判断有无触礁危险，只要看AD的长与8的大小，若AD＞8，则无触礁危险，否则有触礁危险．[解析]如图所示，作AD⊥BC的延长线于D，由已知∠NBA＝75°，∠ACD＝60°，BC＝202.由正弦定理，得ACsin15°＝202sin180°－15°－120°，AC＝202×6－2422，∴AC＝10(6－2)，∴AD＝AC·sin60°＝152－56＞8.∴无触礁危险．某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？例题4[误解]本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD的长，在△ACD中，已知CD＝2