2020-2021学年高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5

第二章解三角形§2三角形中的几何计算自主预习学案我国南宋数学家秦九韶(约1202～1261)独立地发现了求三角形面积的方法．他把三角形的三边分别叫作大斜、中斜、小斜(如图)，他在著作《数书九章》卷五中记述：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于以；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”用今天的符号来表示即是S＝14[a2c2－c2＋a2－b222]，你能用所学的知识证明这个结论吗？三角形中的常用结论(1)A＋B＋C＝__________；(2)在三角形中大边对__________，反之大角对__________；(3)任意两边之和__________第三边，任意两边之差__________第三边；180°大角大边大于小于sinC(4)三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝__________，tan(A＋B)＝__________，sinA＋B2＝__________，cosA＋B2＝__________，tanA＋B2＝__________；(5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝______________________.－cosC－tanCcosC2sinC21tanC2tanA·tanB·tanCC1．已知△ABC周长为20，面积为103，A＝60°，则BC边长为()A．5B．6C．7D．8[解析]由题设a＋b＋c＝20，12bcsin60°＝103，∴bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.∴a＝7.D2．在△ABC中，已知B＝45°，c＝22，b＝433，则A的值是()A．15°B．75°C．105°D．75°或15°[解析]∵bsinB＝csinC，∴sinC＝csinBb＝22sin45°433＝32.∵0°＜C＜180°.∴C＝60°或120°，∴A＝75°或15°.B3．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A．12B．32C．3D．23[解析]S△ABC＝12AB·ACsinA＝sin60°＝32.24．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝23，面积S＝3，则AC＝__________.[解析]S＝12AB·BC·sinB，即3＝12×23×BC×sin30°，∴BC＝2.由余弦定理，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝(23)2＋22－2×2×23×32，即AC2＝4，∴AC＝2.等边三角形5．若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC的形状为__________.[解析]解法一：由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．解法二：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入acosA＝bcosB＝ccosC得：sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，由sinAcosA＝sinBcosB得，sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0.又－πA－Bπ.∴A－B＝0得A＝B．同理得B＝C，∴A＝B＝C．所以△ABC为等边三角形．互动探究学案命题方向1⇨三角形中基本量(如长度、高度、角度等)的计算问题在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．例题1[分析]在△ADC中，利用余弦定理求出∠ADC，从而可求出∠ADB，在△ABD中，利用正弦定理求出AB．[解析]在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∵∠ADC∈(0，π)∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.『规律总结』解决这类问题的关键是待求量纳入三角形中，看已知条件是什么，还缺少哪些量，这些量又在哪个三角形中，应选择正弦定理还是余弦定理求解.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多的已知量，这样可以简化运算．〔跟踪练习1〕如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝7，∠ABC＝2π3，∠ACD＝π3.(1)求sin∠BAC；(2)求DC的长．[解析](1)在△ABC，由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcosB，即BC2＋BC－6＝0，∴BC＝2，或BC＝－3(舍)，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsinB⇒sin∠BAC＝BCsinBAC＝217.(2)因为AB⊥AD，所以∠CAD＋∠BAC＝π2，所以cos∠CAD＝sin∠BAC＝217，sin∠CAD＝1－37＝277，所以sinD＝sin(∠CAD＋π3)＝277×12＋217×32＝5714，在△ACD中，由正弦定理，得DCsin∠CAD＝ACsinD，∴DC＝ACsin∠CADsinD＝7×2775714＝475.∴DC的长为475.命题方向2⇨利用正、余弦定理求角度问题例题2在△ABC中，已知AB＝463，cos∠ABC＝66，AC边上的中线BD＝5，求sinA的值．[分析]要求sinA的值，需根据“D是AC的中点”这个条件，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，所以∠ABE＋∠BED＝180°，根据题目中的条件cos∠ABC＝66，进而求得cos∠BED＝－66.又由DE綊12AB，得DE＝12×463＝263.在△BDE中，利用余弦定理可求出BE，从而BC可求．再在△ABC中，利用余弦定理可求出AC，再利用正弦定理即可求出sinA的值．[解析]如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝12AB＝263.∵cos∠ABC＝66，∴cos∠BED＝－66.设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED，即5＝x2＋83＋2×263×66x.解得x＝1或x＝－73(舍去)，故BC＝2.在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝283，即AC＝2213.又sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝306，∴2sinA＝2213306，∴sinA＝7014.『规律总结』运用正、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解．正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系，对三角形中的任何元素加以变化，都会引起三角形的形状、大小等的变化，但边、角之间仍符合正、余弦定理，所以不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好．甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化为简单问题来计算或证明．〔跟踪练习2〕在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和cb＝12＋3，求∠A和tanB的值．[解析]解法一：由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因此，∠A＝60°.在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝120°－∠B．由正弦定理，得12＋3＝cb＝sinCsinB＝sin120°－BsinB＝sin120°cosB－cos120°sinBsinB＝321tanB＋12，从而tanB＝12.解法二：由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因此，∠A＝60°.由b2＋c2－bc＝a2，得(ab)2＝1＋(cb)2－cb＝1＋14＋3＋3－12－3＝154.∴ab＝152.①由正弦定理，得sinB＝basinA＝215×32＝15.由①式可知a＞b，故∠B＜∠A，因此∠B为锐角，于是cosB＝1－sin2B＝25，从而tanB＝sinBcosB＝12.命题方向3⇨三角形中的面积问题例题3在△ABC中，已知∠A＝45°，cosB＝45.(1)求sinC的值；(2)若BC＝10，求△ABC的面积．[分析](1)已知∠B的余弦值，由三角函数的基本关系可求得正弦值，再由三角形内角和定理通过三角恒等变形可求出sinC的值．(2)由(1)知sinC的值，利用正弦定理可求AB，则面积易得．[解析](1)∵cosB＝45，且∠B∈(0，π)，∴sinB＝1－cos2B＝35，sinC＝sin(180°－A－B)＝sin(135°－B)＝sin135°cosB－cos135°sinB＝22×45－(－22)×35＝7210.(2)由正弦定理得BCsinA＝ABsinC，即1022＝AB7210，解得AB＝14.故△ABC的面积S＝12AB·BCsinB＝12×14×10×35＝42.『规律总结』(1)求三角形面积的公式不同，所需已知条件也不同，根据已知条件的不同，选择相应的公式可简化运算．(2)利用两边与其夹角正弦的积的一半求面积时，条件往往不那么明显．需综合所学知识来解决问题，比如将边长与方程的根联系在一起，利用三角恒等变形确定夹角的正弦等．〔跟踪练习3〕(2019·全国卷Ⅲ理，18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＋C2＝bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解析](1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA．因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.结合A＋C＝120°，得30°C90°，所以12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.命题方向4⇨求最大值、最小值的问题例题4已知⊙O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB成立，求△ABC面积S的最大值．[分析]先根据已知式子由正弦定理把角转化为边的关系，然后运用余弦定理整理求出△ABC面积S的最大值．[解析]由已知条件得(2R)2(sin2A－sin2C)＝2RsinB(2a－b)，即有a2－c2＝2ab－b2，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，∵C∈(0，π)，∴C＝π4，A＋B＝3π4.∴S＝12absinC＝24ab＝24·4R2sinAsinB＝2R2sinAsin(3π4－A)＝2R2sinA(22cosA＋22sinA)＝R22(sin2A＋1－cos2A)＝R22[2sin(2A－π4)＋1]．当2A－π4＝π2，即A＝3π8时，Smax＝2＋12R2.『规律总结』(1)边、角互化是解三角形问题常用的方法．一般有两种思路：一是边化角，二是角化边．(2)三角形中的三角变形，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．(3)对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值，有时要用到不等式的均值定理(后面将要学习)求最值．〔跟踪练习4〕已知△ABC中，22(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，△ABC外接圆半径为2.(1)求∠C；(2)求△ABC面积的最大值．[解析](1)由22(sin2A－s