2.3.4平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β图形语言【思考】性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”,定理是否成立?提示:不一定成立,如图a⊥α,这时也有a⊥l,但a与β不垂直.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直.()(2)若α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线.()(3)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ.()(4)若两个平面互相垂直,一条直线与一个平面垂直,那么这条直线在另一个平面内.()【提示】(1)×.不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.(2)√.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(3)√.设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在m,n上,过P作直线a,b,使a⊥m,b⊥n.因为γ⊥α,a⊥m,则a⊥α.所以a⊥l,同理有b⊥l.又a∩b=P,l⊄γ,所以l⊥γ.故正确.(4)×.若α⊥β,l⊥α,在β内作a与α,β的交线垂直,则a⊥α,所以a∥l.所以l∥β或l⊂β,即直线l与平面β平行或在平面β内.2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1()A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面且不垂直【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.3.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________.【解析】取CD的中点G,连接MG,NG.因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,所以MG⊥平面DCEF,由于GN⊂平面CDEF,可得MG⊥NG,所以MN=答案:222MGNG6.?+=6类型一用面面垂直的性质定理解证明问题【典例】1.(2019·枣庄高一检测)已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α,β,给出下列四个命题,正确命题的个数是()①若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b;②若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b;③若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则a⊥α;④若α∥β,a∥α,则a∥β.A.1B.2C.3D.42.(2018·北京高考改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD.(1)求证:DC⊥平面PAD.(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.【思维·引】1.根据线面平行的性质判断①;根据面面垂直的性质定理判断②③;根据面面平行的性质判断④.2.(1)依据平面PAD⊥平面ABCD和AD⊥DC证明;(2)转化为证明PA⊥平面PCD.【解析】1.选C.依题意,当a∥α,a∥β,α∩β=b时,根据线面平行的性质可得a∥b,故①正确;当α⊥β,a⊥α时,a∥β或a⊂β,又b⊥β,所以a⊥b,故②正确;当α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则交线a⊥α;故③正确;当α∥β,a∥α时,a∥β或a⊂β,故④错误.正确的有3个.2.(1)因为底面ABCD是矩形,所以AD⊥DC,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且DC⊂平面ABCD,所以DC⊥平面PAD.(2)由(1)得DC⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD,所以DC⊥PA,又因为PA⊥PD,DC∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.【类题·通】1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直.(2)三个注意点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.2.证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理;(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).【习练·破】(2019·芜湖高一检测)如图,在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求证:平面PAB⊥平面PBC.【证明】因为平面PAC⊥平面ABC,且PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又BC⊥BA,所以BC⊥平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBC.【加练·固】如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°.求证:平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)因为E,F分别为AC,BC的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)因为PA=PC,E为AC的中点,所以PE⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,所以PE⊥平面ABC,所以PE⊥BC.又因为F为BC的中点,所以EF∥AB.因为∠ABC=90°,所以BC⊥EF.因为EF∩PE=E,所以BC⊥平面PEF.又因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题角度1求空间角【典例】(2018·天津高考改编)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.3(1)求证:AD⊥BC.(2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【思维·引】(1)由平面ABC⊥平面ABD想到在其中一个平面内找两个平面交线的垂线,推出线面垂直进而推出线线垂直.(2)由平面ABC⊥平面ABD推出CM⊥平面ABD,得到直线CD与平面ABD所成角.【解析】(1)因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABD,所以AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.3在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,sin∠CDM=所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.22ACADCM3.CD434【素养·探】在求空间角有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过用面面垂直的性质定理将“面面垂直”转化为“线面垂直”,进而得到所求线面角或面面角,并进行计算.在本例的条件下,计算二面角A-BC-D的余弦值.【解析】取BC的中点N,连接AN,DN,因为AB=AC,所以BC⊥AN,由原例题解析可知BC⊥AD,又AN∩AD=A,所以BC⊥平面ADN,所以∠AND是二面角A-BC-D的平面角,在Rt△AND中,AN=,AD=2,∠DAN=90°,所以DN=所以cos∠AND=3322ANAD15,AN35.DN515角度2求体积【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.23【思维·引】(1)转化为证明AB⊥平面ACD.(2)过Q作AC的垂线,得三棱锥Q-ABP底面ABP上的高.【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,则BA⊥AC.又BA⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.2322作QE⊥AC,垂足为E,则QE=DC=1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,因此,三棱锥Q-ABP的体积为=×QE×=×1××3×2sin45°=1.13QABPV13ABPSV13122【类题·通】计算问题的解决方法(1)上述计算问题一般在三角形中求解.所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直,然后转化为线线垂直.往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题.(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法,求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法.提醒:证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.【习练·破】1.(2019·九江高一检测)如图,α⊥β,AB⊂α,AC⊂β,∠BAD=∠CAD=45°,则∠BAC=()A.90°B.60°C.45°D.30°【解析】选B.在AB上任意找一点F,过点F作AD的垂线EF,垂足为E,再过点E作EG⊥AD,EG交AC于点G.如图所示.因为∠BAD=∠CAD=45°,EF⊥AE,EG⊥AD,所以EF=AE=EG,所以根据三角形的勾股定理可知,AF2=AE2+FE2,FG2=FE2+EG2,AG2=AE2+EG2,所以AF=AG=FG,所以△AFG是等边三角形,则∠BAC=60°.2.(2019·汕头高一检测)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.O为AB的中点.(1)证明:AB⊥平面A1OC.(2)若AB=CB=2,平面ABC⊥平面A1ABB1,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.【解析】(1)连接A1B.,因为CA=CB,OA=OB,所以OC⊥AB,因为AB=AA1,∠BAA1=60°,所以三角形AA1B为等边三角形,所以AA1=A1B,又OA=OB,所以OA1⊥AB,又OC∩OA1=O,所以AB⊥平面A1OC.(2)由题可知,△ABC与△AA1B是边长为2的等边三角形,得OA1=,因为平面ABC⊥平面A1ABB1,平面ABC∩平面A1ABB1=AB,由(1)OA1⊥AB,OA1⊂平面A1ABB1,所以OA1⊥面ABC,所以OA1⊥三棱柱ABC-A1B1C1的高,所以=S△ABC×OA1=3.3111ABCABCV【加练·固】如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD.(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【解析】(1)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示,因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCFE,所以BF⊥AC,又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,又因为CK∩AC=C,所以BF⊥平面ACFD.(2)过点F作FQ⊥AK,连接BQ.因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角Β-ΑD-F的平面角.在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=31313.在Rt△ΒQF中,FQ=,BF=,得cos∠BQF=.所以二面角Β-ΑD-F的平面角的余弦值为.3131333434类型三折叠问题【典例】如图,在多边形PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,PA=AB=AD=2BC,∠PAD=60°,M是线段PD上的一点,且DM=2MP,若将△PAD沿AD折起,得到几何体P-ABCD.(1)证明:PB∥平面AMC.(2)若BC=1,且平面PAD
本文标题:2020-2021学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性
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