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2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义自然语言文字叙述有关概念如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足.图形语言图示注释画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直符号语言任意a⊂α,都有l⊥a⇒l⊥α【思考】定义中的“任何一条直线”与“所有直线”、“无数条直线”是同义语吗?提示:“任何一条直线”与“所有直线”是同义语;“任何一条直线”与“无数条直线”不是同义语.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α【思考】判定定理的条件中,把“两条相交直线”改为“两条直线”或“无数条直线”可以吗?提示:不可以.若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判定直线与平面垂直.例如正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ABCD内无数条直线垂直(与直线AD平行或重合的所有直线),但是AB1与平面ABCD不垂直.3.直线与平面所成的角(1)预备知识:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.(2)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(3)基本模型:如图所示,PO⊥平面α,直线PA与平面α交于点A,直线PA与平面α所成的角是∠PAO.(4)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.(5)范围:直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.【思考】斜线上斜足以外的一点可以任意选取吗?点的不同会影响角的大小吗?提示:斜线上斜足以外的一点可以任意选取,且直线与平面所成的角的大小不会因点的不同而改变.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)斜线与它在平面上的射影所成的角为θ,则0°θ90°.()(2)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于平面OBC.()(3)若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线平行.()提示:(1)√.由直线与平面所成角的定义可知,此说法正确.(2)√.因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,且OB,OC确定一个平面OBC,所以OA⊥平面OBC..(3)×.例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,又BD,AC异面,故不相交.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于______;AB1与平面ADD1A1所成的角等于______;AB1与平面DCC1D1所成的角等于________.【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.答案:45°45°0°类型一线面垂直的定义及判定定理的理解【典例】1.下列说法中,正确的是()A.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线B.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行C.若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥bD.若a⊥b,b⊥α,则a∥α2.如果一条直线垂直于一个平面内的________,则能保证该直线与平面垂直.()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A.①③B.②C.②④D.①②④3.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是()A.α∥β,且m⊂αB.m∥n,且n⊥βC.m⊥n,且n⊂βD.m⊥n,且n∥β【思维·引】1.依据线面垂直的定义逐项判断.2.依据线面垂直的判定定理和有关平面图形的性质逐个判断.3.根据面面平行、线面平行的定义和线面垂直的定义逐项判断.【解析】1.选C.当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,故A错;当l⊥α时,l与α内的直线相交或异面,但不会平行,故B错;由a⊂α,l⊥α,又a∥b,所以l⊥b,所以C正确;而D中,a可能在α内,所以D错误.2.选A.由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③平面;对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.3.选B.A项,α∥β且m⊂α,则m∥β,故A不正确;B项,n⊥β,则n垂直于β内的任意一条直线,又m∥n,可知m也垂直于平面β内的任意一条直线,所以m⊥β,故正确;C项,D项,由m⊥n,n⊂β或m⊥n,n∥β,可得m与β的关系可以是m⊂β或m∥β或m与β相交,故不正确.【内化·悟】空间中直线与直线垂直有哪两种情况?证明方法有何不同?提示:(1)相交垂直.利用等腰三角形三线合一的性质、菱形对角线垂直、勾股定理逆定理等方法证明;(2)异面垂直.通常转化为证明线面垂直.【类题·通】1.直线与平面垂直的定义的双重作用一是判定,是指如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直线就与这个平面垂直;二是性质,是指如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线.2.线面垂直判定定理的两点注意一是注意平面内的两条相交直线;二是注意某直线与哪两条相交直线垂直.【习练·破】下列说法中,正确的有()①过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直;③垂直于角的两边的直线必垂直于角所在的平面;④过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.①②正确;③正确;④正确.【加练·固】1.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直【解析】选A.因为直线l⊥平面α,所以l与α相交.又因为m⊂α,所以l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.2.下列表述正确的个数为()①若直线a∥平面α,直线a⊥b,则b⊥α;②若直线a⊄平面α,b⊂α,且a⊥b,则a⊥α;③若直线a平行于平面α内的两条直线,则a∥α;④若平面α内有一条直线与直线l不垂直,则直线l与平面α不垂直.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①错误,b与α还可能平行、斜交或b在平面α内.②错误,a与α还可能平行或斜交,③错误,a还可能在平面α内.④正确,根据线面垂直的定义,若l⊥α则l与α内的所有直线都垂直.类型二线面垂直判定定理的应用【典例】1.如图,PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,给出下列结论:①BC⊥平面PAC;②AF⊥平面PCB;③EF⊥PB;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.42.(2018·全国卷Ⅱ改编)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.证明:PO⊥平面ABC.2【思维·引】1.首先推出BC⊥平面PAC,进而推出其他线面垂直关系.2.OP⊥AC是比较明显的,所以关键是证明OP⊥OB,可考虑用勾股定理的逆定理.【解析】1.选C.因为PA⊥☉O所在的平面,BC⊂☉O所在的平面,所以PA⊥BC,而BC⊥AC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,故①正确;又因为AF⊂平面PAC,所以AF⊥BC,而AF⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PCB,故②正确;而PB⊂平面PCB,所以AF⊥PB,而AE⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF,而EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB,故③正确;因为AF⊥平面PCB,假设AE⊥平面PBC,所以AF∥AE,显然不成立,故④不正确.2.因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.32212【素养·探】在与线面垂直判定定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究线线垂直、线面垂直的判定,体会线线垂直和线面垂直的相互转化.将本例2三棱锥满足的条件改为PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.【证明】过P作PO⊥平面ABC于O,连接OA,OB,OC.因为PO⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PO⊥BC.又因为PA⊥BC,PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO.又因为OA⊂平面PAO,所以BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.所以O是△ABC的垂心.所以OB⊥AC.又因为PO⊥AC,PO∩OB=O,所以AC⊥平面PBO.又PB⊂平面PBO,所以PB⊥AC.【类题·通】线面垂直的判定方法(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义.②线面垂直的判定定理.③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;②确定这个平面内的两条直线是相交的直线;③根据判定定理得出结论.【习练·破】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.【证明】如图,连接AC,由题知AC⊥BD.又因为BD⊥A1A,AC∩AA1=A,AC,A1A⊂平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC,因为A1C⊂平面A1AC,所以BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又因为BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D.【加练·固】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥平面BEF.2【证明】如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EF⊥PC.又BP==BC,F是PC的中点,所以BF⊥PC.又BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.22APAB22＝类型三直线与平面所成的角【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6C.8D.82232.如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DD1⊥平面ABCD,AB=2AD,BD=AD,AD=A1B1.(1)证明:BD⊥平面ADD1A1.(2)证明:CC1∥平面A1BD.(3)若DD1=AD,求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值.3【思维·引】1.根据AB⊥平面BB1C1C,找到直线AC1与平面BB1C1C所成的角,进而依据题目条件求出CC1.2.(1)依据题目条件证明AD⊥BD,DD1⊥BD;(2)作辅助线构造平行四边形,用线面平行的判定定理证明;(3)一方面要注意依据(2)的结论进行转化,另一方面要依据(1)的结论作出所求角.【解析】1.选C.如图,连接AC1和BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,AC1与平面BB1C