2020-2021学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性

2.2.4平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b图形语言【思考】分别在两个平行平面内的两条直线,有可能出现哪些位置关系?面面平行性质定理中直线a和b为什么是平行的?提示:分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面.面面平行性质定理中直线a和b分别在两个平行平面内,且在同一个平面γ内,所以a∥b.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β.()(2)若平面α∥β,点P∈α,a∥β且P∈a,那么a⊂α.()(3)已知两个平面平行,若有第三个平面与其中的一个平面平行,那么它与另一平面也平行.()提示:(1)×.直线a可能与β平行,也可能在β内.(2)√.因为平面α∥β,a∥β,所以a∥α或a⊂α,又因为点P∈α,P∈a,所以a⊂α.(3)√.因为两个平面平行,又因为第三个平面与其中一个平面平行,说明这两个平面没有公共点,因此,它与另一个平面也没有公共点,即它与另一个平面也平行,所以该命题正确.2.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.平行或异面【解析】选C.因为圆台的上、下底面互相平行,所以平面α与圆台的上、下底面分别相交时,所得交线m与n平行.3.一长方体木料,沿如图所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD,那么以下四个图形是截面的是()【解析】选A.因为AB,MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,所以AB,MN无公共点,又因为AB,MN在平面EFGH内,故AB∥MN,同理易知AN∥BM,又AB⊥CD,所以截面必为矩形.类型一面面平行性质定理的应用【典例】1.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,则直线l与直线A1C1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若点S在平面α,β之间,则SC=________.(2)若点S不在平面α,β之间,则SC=________.【思维·引】1.求直线l与直线A1C1所成的角关键是作直线l的平行线与直线A1C1相交.由平面α∥平面A1BD可推出l∥BD.2.由平面α∥平面β推出直线与直线平行,进而根据三角形相似列方程解出SC.【解析】1.选D.因为平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,平面A1BD∩平面ABCD=BD,所以l∥BD,又因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以l∥B1D1,所以直线l与直线A1C1所成的角等于直线B1D1与直线A1C1所成的角,因为A1C1⊥B1D1,所以直线l与直线A1C1所成的角为90°.2.(1)如图①所示,因为AB∩CD=S,所以AB,CD确定一个平面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.于是,即.所以SC==16.SASCSBSDSASCABCDSACD834AB98g＋(2)如图②所示,同理知AC∥BD,则,即,解得SC=272.答案:(1)16(2)272SASCSBSD8SC9SC34＋【素养·探】在与面面平行性质定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,根据平面与平面平行推出直线与直线平行,计算题中可以进一步得到三角形相似等结论,推出有关的等量关系.将本例2的条件“SA=8,SB=9,CD=34.”改为“SA=18,SB=9,CD=34”,求SC.【解析】如图(1),由α∥β可知BD∥AC,所以,即,所以SC=68.如图(2),由α∥β知AC∥BD,所以即.所以SC=.综上,SC的大小为68或.SBSDSASC9SC3418SCSASCSCSBSDCDSC，18SC934SC683683【类题·通】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤提醒:面面平行性质定理的实质:面面平行⇒线线平行,体现了转化思想.与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.【习练·破】(2019·武威高一检测)P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A1,B1,C1,若PA1∶A1A=2∶3,则=________.111ABCABCSSVV∶【解析】平面α∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A1B1,AB,所以AB∥A1B1,同理B1C1∥BC,易得△ABC∽△A1B1C1,∶S△ABC答案:111ABCSV22111ABPA4()().ABPA25425【加练·固】如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.a3【解析】由上下底面平行,得截面与上、下底面相交所得的交线平行,即PQ∥MN.如图,连接AC,A1C1,则MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.因为AP=,所以DP=DQ=a.可得PQ=a.答案:aa323223223类型二平行关系的综合应用【典例】(2019·常熟高一检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.【思维·引】(1)要证平面A1C1G∥平面BEF,用平面与平面平行的判定定理,需要证EF∥平面A1C1G,BF∥平面A1C1G.(2)在△ABC中,已知G是AB的中点,要证H为BC的中点,需要证GH∥AC,用面面平行的性质定理证明.【证明】(1)因为E,F分别为B1C1,A1B1的中点,所以EF∥A1C1,因为A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G,所以EF∥平面A1C1G,又F,G分别为A1B1,AB的中点,所以A1F=BG,又A1F∥BG,所以四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G,因为A1G⊂平面A1C1G,BF⊄平面A1C1G,所以BF∥平面A1C1G,又EF∩BF=F,所以平面A1C1G∥平面BEF.(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则这两个平面的交线经过G,又因为平面A1C1G∩BC=H,所以设平面A1C1G∩平面ABC=GH,则A1C1∥GH,得GH∥AC,因为G为AB的中点,所以H为BC的中点.【内化·悟】立体几何中证明直线与直线平行与平面几何中证明直线与直线平行有什么区别?提示:平面几何中直线与直线平行,通常利用三角形中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等方法;立体几何中,除了利用上述方法之外,还经常利用转化的思想,转化为证明线面平行或面面平行.【类题·通】空间中线、面平行关系的转化线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达.【习练·破】如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且,求证:MN∥平面SBC.AMDNSMNB【证明】在AB上取一点P,使,连接MP,NP,则MP∥SB.因为SB⊂平面SBC,MP⊄平面SBC,所以MP∥平面SBC.又,所以,所以NP∥AD.因为AD∥BC,所以NP∥BC.又BC⊂平面SBC,NP⊄平面SBC,所以NP∥平APAMBPSMAMDNSMNBAPDNBPNB面SBC.又MP∩NP=P,所以平面MNP∥平面SBC,而MN⊂平面MNP,所以MN∥平面SBC.【加练·固】如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.【证明】因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理DF∥平面ABC,又因为DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF=NF,平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.