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2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点无数个1个0个符号表示a⊂αa∩α=Aa∥α图形表示【思考】“直线在平面外”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?提示:不相同.前者包括直线与平面平行及直线与平面相交这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.2.平面与平面的位置关系位置关系平行相交图示表示法α∥βα∩β=a公共点个数0个无数个【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.()(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.()(3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点,则α∥β.()(4)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.()提示:(1)×.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或直线l与平面α相交.(2)×.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条与这个平面平行或在这个平面内.(3)√.由平面与平面平行的定义可知,此说法正确.(4)×.若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行或相交.2.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内【解析】选A.延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知,三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.3.在以下三个命题中,正确的命题是()①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③在平面α,β内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面平行或相交.A.①②B.②③C.③D.①③【解析】选C.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于①,平面AA1D1D中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则EF∥平面A1B1C1D1,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题①错;对于②,平面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故命题②错.命题③是正确的.类型一直线与平面的位置关系【典例】1.(2019·丽水高一检测)下列命题错误的是()A.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l平行B.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l异面C.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l垂直D.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l相交2.下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0B.1C.2D.33.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,试判断(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系?(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系?(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?【思维·引】1.由直线l平行于平面α知直线l与平面α无公共点,据此逐项判断.2.依据直线与平面的三种位置关系的定义逐项判断.3.依据直线与平面的三种位置关系的定义和正方体的结构特征逐项判断.【解析】1.选D.若直线l平行于平面α,则平面α内的直线与l平行或异面,故A,B正确;在C中,若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l异面垂直,故C正确;在D中,若直线l平行于平面α,则平面α内的直线与l平行或异面,故D错误.2.选C.易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.3.(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.【类题·通】直线与平面位置关系的判断(1)以正方体为模型,将线面化归成正方体中的线面进行判断.(2)以身边的物体作为模型判断,如笔,墙角作为直线,桌面,墙面,地面作为平面.提醒:在判断直线与平面的位置关系时,三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.【习练·破】在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.【加练·固】指出正方体ABCD-A1B1C1D1中的各个面与棱AA1所在直线的位置关系.【解析】如图,因为A∈平面AB1,A1∈平面AB1,所以AA1⊂平面AB1,同理AA1⊂平面AD1.因为A∈平面AC,A1∉平面AC,所以AA1⊄平面AC,所以AA1∩平面AC=A.同理,AA1∩平面A1C1=A1,所以AA1⊄平面A1C1.因为AA1⊂平面AB1,所以AA1的所有的点都在平面AB1内.因为平面AB1∩平面BC1=BB1,AA1∥BB1,所以直线AA1与BB1没有公共点.这就是说,直线AA1与平面BC1没有公共点,即AA1∥平面BC1,同理AA1∥平面DC1.类型二平面与平面的位置关系【典例】1.(2019·上海高一检测)已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,α∩β=a,a∥b,则下面结论不可能成立的是()A.b⊄β,且b∥αB.b⊄αC.b∥α,且b∥βD.b与α,β都相交2.α,β是两个不重合的平面,下面说法中正确的是()A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β3.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;其中正确说法的序号是________.【思维·引】1.借助正方体模型举反例说明有关结论不成立,用排除法选出正确答案.2.画图举反例说明A,B,C错误,对于D可以根据平面与平面平行的定义进行判断.3.根据平面与平面平行的定义得到四种说法中直线a与b无公共点,从而得出答案.【解析】1.选D.由a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,α∩β=a,a∥b,知:对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1⊄平面ABCD,C1D1∥AB,此时有C1D1⊄平面ABB1A1,C1D1∥平面ABCD成立,故排除A.对于选项B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b⊄α有可能成立,故排除B;对于选项C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b∥α,且b∥β有可能成立,故排除C;对于选项D,b与α,β都相交不可能成立,故选D.2.选D.A,B都不能保证α,β无公共点,如图①所示;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②所示;只有D说明α,β一定无公共点.3.①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由已知及③知:a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.答案:③④【内化·悟】判断平面与平面的位置关系,要注意哪些问题?提示:(1)牢牢抓住平面与平面的位置关系的定义;(2)要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.【类题·通】1.平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断,主要是以公理3为依据找出一个交点.(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.2.常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行.(2)长方体的六个面中,三组相对面平行.【习练·破】下列说法中正确的个数是()(1)平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有2条或3条交线.(2)如果平面α外有两点A,B到平面α的距离相等,则直线AB∥α.(3)如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面.(4)直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线.(5)如果α∥β,a∥α,那么a∥β.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.(1)错误.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有可能有2条或3条交线,还有可能只有一条交线.(2)错误.如果两点A,B在平面α的同一侧,则直线AB∥α;如果两点A,B在平面α的两侧,则直线AB与平面α相交.(3)错误.如果a,b是两条直线,a∥b,那么直线a有可能在经过b的平面内.(4)错误.直线a不平行于平面α,则a有可能在平面α内,此时可以与平面α内无数条直线平行.(5)错误.如果α∥β,a∥α,那么a∥β或a⊂β.【加练·固】已知在两个平面内分别有一条直线,并且这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对【解析】选C.如图,可能会出现以下两种情况: