2020-2021学年高中数学 第4章 函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存

第四章函数应用§1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在学习目标核心素养1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2.掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3.能结合图像求解零点问题．(难点)1.学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养.2.通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养.自主预习探新知函数零点及判定定理阅读教材P115～P116整节的内容，完成下列问题．(1)函数的零点：①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的称为这个函数的零点．横坐标②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是曲线，并且在区间端点的函数值符号，即0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．连续相反f(a)·f(b)一个思考：(1)函数的零点是点吗？(2)若f(a)·f(b)0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？[提示](1)不是点，是数．(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2,2)上有两个零点．1．下列各图像表示的函数中没有零点的是()D[选项A，B和C中，函数的图像与x轴有交点，而选项D中，函数图像与x轴没有交点，故该函数没有零点．]2．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)A[∵f(0)＝－10，f(1)＝20，且f(x)在区间[0,1]上连续，∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点．又f(x)在R上是增函数，则f(x)有唯一零点．故选A.]3．若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值是________．14[依题意，f(4)＝0，即16a－2log24＝0，解得a＝14.]4．函数y＝x－1x的零点是________．±1[由y＝0，得x－1x＝0，解得x＝±1.]合作探究释疑难求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.[解](1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－120，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.函数零点的求法,求函数y＝fx的零点通常有两种方法：其一是令fx＝0，根据解方程fx＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝fx的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.[跟进训练]1．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．[解]由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.判断零点所在的区间【例2】(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)1510－76－4－5则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个(2)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C.1，1e和(3,4)D．(e，＋∞)(1)B(2)B[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)0，故函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别存在零点，故至少有3个零点．(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．]1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)C[因为f(1)＝－10，f(2)＝50，所以f(1)·f(2)0，所以f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点，又f(x)仅有一个正零点，故选C.]2．(变结论)探究1中，函数y＝f(x)有负零点吗？[解]当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1－1，当－1x0时，f(x)＝x3－x－1＝x3－(x＋1)－(x＋1)0，综上知，当x0时，f(x)0，因此，f(x)没有负零点．1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2．若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的其他性质，如单调性．函数零点个数的判定【例3】(1)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数是________．(1)B(2)1[(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B.(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋10；所以f(1)·f(2)0.又f(x)＝lnx＋x2－3的图像在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点．又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有1个．]判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．[跟进训练]2．(1)函数f(x)＝x3－12x的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．无数个(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．(1)B(2){－2－7，1,3}[(1)如图所示，作出y＝x3与y＝12x的图像，两个函数的图像，只有一个交点，所以函数只有一个零点，所以B项正确．](2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令x0，则－x0，∴f(－x)＝x2＋3x＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－3x，则f(x)＝x2－3x，x≥0，－x2－3x，x0.∵g(x)＝f(x)－x＋3，∴g(x)＝x2－4x＋3，x≥0，－x2－4x＋3，x0，令g(x)＝0，当x≥0时，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，当x0时，－x2－4x＋3＝0，解得x＝－2－7或x＝－2＋7(舍去)∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为{－2－7，1,3}．函数零点的分布[探究问题]1．当a0时，画出函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间(m，n)内有两个零点图像，并根据图像的特征，写出参数a，b，c满足的条件．提示：a0，m－b2an，Δ0，fm0，fn0.2．对于探究1中的问题，将“a0”改为“a0”，进行探究．提示：a0，m－b2an，Δ0，fm0，fn0.当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．[思路探究]分a＝0，a0，a0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．[解](1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．(2)当a0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴f00，f10，f20，即10，a－2＋10，4a－4＋10，解得34a1.(3)当a0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2＝1a0，x1，x2一正一负不符合题意．综上，a的取值范围为34，1.(变条件)若本例中的方程至少有一个正根，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝0时，方程变为－2x＋1＝0，解得x＝12，符合题意．(2)当a＞0时，Δ＝4－4a≥0，1a＞0，f0＞0，解得a≤1，故0＜a≤1.(3)当a＜0时，因为f(0)＝1，故函数f(x)＝ax2－2x＋1与x轴一定有两个交点，故方程ax2－2x＋1＝0必有一个正根．综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.2结合草图考虑三个方面：①开口方向；②Δ与0的大小；③对称轴与所给端点值的关系；④端点的函数值与零的关系.课堂小结提素养1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间[a，b]上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，函数至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．思考辨析(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[答案](1)×(2)√(3)×2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A．－1，(－1,0)B．(－1,0)，0C．(－1,0)，－1D．－1，－1C[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，故交点坐标为(－1,0)，零点是－1.]3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；②函数f(x)在(3,5)内无零点；③函数f(x)在(2,5)内有零点；④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．以上说法错误的是________(将序号填在横线上)．①②③[由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．]4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x.[解](1)令y＝0，得2x＋1＝0，无解．故函数不存在零点．(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－120.故函数不存在零点．(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5.故函数的零点为5.Thankyouforwatching!