2020-2021学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.1 3.2 3.3 第

第三章指数函数和对数函数§3指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数y＝2x和y＝12x的图像和性质3.3指数函数的图像和性质第1课时指数函数的图像和性质学习目标核心素养1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点、易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点)1．通过具体指数函数的图像，体会指数函数与底数a的关系，培养直观想象素养．2．通过研究指数函数的图像与性质，培养数学抽象素养.自主预习探新知1．指数函数的定义阅读教材P70有关内容，完成下列问题．函数叫作指数函数，自变量x出现在指数的位置上，底数a是一个且的常量，函数的定义域是实数集R.y＝ax大于0不等于1思考1：指数函数定义中，为什么规定a0且a≠1?[提示](1)若a＝0，则x0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．(2)若a0，则其定义域不是R.(3)若a＝1，则y＝1，对它没有研究的必要．为了避免上述情况，所以，规定a0，且a≠1.2．指数函数的图像和性质阅读教材P70～P73“练习1”之间的内容，完成下列问题．a10a1图像定义域：值域：过点，即x＝时，y＝当x0时，；x0时，当x0，；x0时，性质是R上的是R上的R(0，＋∞)(0,1)01y10y10y1y1增函数减函数思考2：指数函数的图像一定过点(0,1)，为什么？[提示]当a0，且a≠1时，a0＝1.1．y＝34x的图像可能是()[答案]C2．函数y＝3x与y＝3－x的图像关于()对称．A．x轴B．y轴C．原点D．直线y＝x[答案]B3．指数函数y＝f(x)的图像过点(2,4)．则f(－2)＝________.14[设f(x)＝ax，由f(2)＝4，得a2＝4，又a0，且a≠1，则a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(－2)＝2－2＝14.]4．函数y＝1－3x的定义域是________．(－∞，0][由1－3x≥0，得3x≤1，所以x≤0，所以，该函数的定义域是(－∞，0]．]合作探究释疑难指数函数的概念【例1】指出下列函数哪些是指数函数．(1)y＝3x；(2)y＝x2；(3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x；(5)y＝πx；(6)y＝(2x)2；(7)y＝21x；(8)y＝2－x.[思路探究]根据指数函数的定义判断[解](6)y＝(2x)2＝4x；(8)y＝2－x＝12x，故指数函数是(1)，(5)，(6)，(8)．判断一个函数是否为指数函数：1底数要大于零且不等于1；2幂指数是自变量x；3系数为1，只能是y＝axa0，a≠1，x∈R这样的形式.[跟进训练]1．(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则()A．a＝1或－1B．a＝1C．a＝－1D．a0且a≠1(2)指数函数f(x)过点32，33，则f(－1)＝________.(1)C(2)13[(1)依题意，a2＝1，2－a0，2－a≠1，解得a＝－1.(2)设f(x)＝ax(a0，且a≠1)，则a32＝33解得a＝3，∴f(x)＝3x，∴f(－1)＝3－1＝13.]指数函数的图像【例2】(1)函数y＝3－x的图像是()(2)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc(1)B(2)B[(1)y＝3－x＝13x，故选B.(2)作直线x＝1，如图所示，由图，得ba1dc.故选B.]无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝axa0，a≠1的图像与直线x＝1相交于点1，a，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大.[跟进训练]2．如图，若0a1，则函数y＝ax与y＝(a－1)x2的图像可能是()D[由0a1，知y＝ax是减函数，y＝(a－1)x2的图像开口向下．故选D.]指数函数的性质[探究问题]1．函数y＝21x与y＝1x的定义域有什么关系？单调性有什么关系？提示：定义域相同，单调性相同．2．函数y＝121x与y＝1x的定义域有什么关系？单调性有什么关系？提示：定义域相同，单调性相反．【例3】已知f(x)＝2|x－1|.(1)求f(x)的最小值；(2)求f(x)的单调区间．[思路探究]借助函数y＝2x及y＝|x－1|的性质求解．[解](1)令u＝|x－1|，则u≥0，又y＝2u是增函数，则y的最小值为20＝1.故f(x)的最小值是1.(2)u的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1)又y＝2u是增函数，则f(x)的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1)．(变条件)将本例题中的“f(x)＝2|x－1|”变为“f(x)＝2－x2＋2x”，试求f(x)的最大值及单调区间．[解](1)令u＝－x2＋2x，则u＝－(x－1)2＋1≤1，因为y＝2u是增函数，则y的最大值是21＝2.故f(x)的最大值是2.(2)u的递增区间是(－∞，1]，递减区间是(1，＋∞)．又y＝2u是增函数，则f(x)的递增区间是(－∞，1]，递减区间是(1，＋∞)．一般地，有形如y＝afxa0，且a≠1函数的性质1函数y＝afx与函数y＝fx有相同的定义域.2当a1时，函数y＝afx与y＝fx具有相同的单调性；0a1时，函数y＝afx与函数y＝fx的单调性相反.课堂小结提素养1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.2．当a1时，a的值越大，y轴右侧的图像越靠近y轴．当0a1时，a的值越小，y轴右侧的图像越靠近x轴．1．思考辨析(1)y＝2x－1是指数函数．()(2)y＝2－x在R上是减函数．()(3)指数函数y＝ax过定点(0,1)．()[答案](1)×(2)√(3)√2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则()A．a0，b0B．0a1,0b1C．0a1，b1D．a1,0b1C[y＝ax是减函数，则0a1，y＝bx是增函数，则b1.故选C.]3．函数y＝a2x－1＋1的图像恒过定点________．12，2[由2x－1＝0，得x＝12，当x＝12时，y＝a0＋1＝2，故其图像恒过定点12，2.]4．若函数f(x)＝ax－1(a0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．[解]当0a1时，f(x)是减函数，则a0－1＝2a2－1＝0，无解；当a1时，f(x)是增函数，则a0－1＝0a2－1＝2，解得a＝3.综上，得a＝3.Thankyouforwatching!