2020-2021学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 2 指数扩充及其运算性质 2.1 指数概

第三章指数函数和对数函数§2指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充2.2指数运算的性质学习目标核心素养1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)1．通过理解分数指数幂与根式的互化，培养数学抽象素养．2．通过运用指数的运算性质进行指数运算，提升数学运算素养.自主预习探新知1．分数指数幂阅读教材P64～P66的有关内容，完成下列问题．(1)定义给定a，对于任意给定的m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得，把b叫作a的mn次幂，记作b＝，它就是分数指数幂．bn＝am正实数整数amn(2)几个结论①正分数指数幂的根式形式：amn＝(a0)．②负分数指数幂的意义：a－mn＝1amn(a0，m，n∈N＋，且n1)．③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．nam0没有意义思考1：(1)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘吗？(2)在分数指数幂的概念中，我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义，那么负数也有分数指数幂吗？[提示](1)当mn是正整数时，可以；当mn不是正整数时，不可以．(2)有的负数有分数指数幂，例如(－2)23；有的负数没有分数指数幂，例如(－2)32.2．指数运算的性质阅读教材P66～P67的有关内容，完成下列问题．若a0，b0，对任意实数m，n指数运算有以下性质：(1)am·an＝；(2)(am)n＝；(3)(ab)n＝.anbnam＋namn思考2：－2612＝(－2)6×12＝(－2)3＝－8，上述计算正确吗？若不正确，应如何计算．[提示]不正确.－2612＝(26)12＝26×12＝23＝8.1．下列等式一定成立的是()A.4a4＝4B.6－22＝3－2C．a0＝1D.102－15＝2－1D[当a0时，4a4＝|a|，故A错；6－22＝32，故B错；当a＝0时，a0不存在，故C错；因为2－10，所以102－15＝(2－1)510＝(2－1)12＝2－1]2.3aa化为分数指数幂为________．a12[3aa＝a·a1213＝a3213＝a32×13＝a12]3．(0.027)－13＝________.103[(0.027)－13＝3103－13＝3103×－13＝310-1＝103.]4．化简3－642的结果为________．16[3－642＝384＝3243＝24＝16.]合作探究释疑难根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂互化的关键与技巧1关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用amn＝nam，a－mn＝1nama0，m，n∈N＋，且n1.2技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[跟进训练]1．将下列根式化成分数指数幂的形式．(1)3a·4a；(2)aaa；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.分数指数幂的运算【例2】计算下列各式．进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题.[跟进训练]2．(1)m·3m·4m6m5·m14＝()A．1B．m12C．m13D．m(2)化简(a23b12)(－3a12b13)÷13a16b56(a0，b0)的结果是()A．6aB．－aC．－9aD．9a条件求值[探究问题]1．已知a12＋a－12＝3，求a＋a－1的值．提示：法一：由a12＋a－12＝3，得a122＋2a12·a－12＋a－122＝9.∴a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.法二：a＋a－1＝a12＋a－122－2a12·a－12＝32－2＝9－2＝7.2．在探究1的条件下，求a12－a－12的值．提示：∵a12－a－122＝a122－2a12·a－12＋(a－12)2＝(a＋a－1)－2＝7－2＝5.∴a12－a－12＝±5.3．在探究1的条件下，求a－a－1的值．提示：a－a－1＝(a12＋a－12)(a12－a－12)＝3×(±5)＝±35.【例3】已知x12＋x－12＝3，求2x－1＋x＋3的值．[解]因为x12＋x－12＝3，所以(x12＋x－12)2＝9，所以(x12)2＋2x12·x－12＋(x－12)2＝9，所以x＋2＋x－1＝9，所以x＋x－1＝7，所以2x－1＋x＋3＝27＋3＝15.1．(变条件)若将本例条件“x12＋x－12＝3”改为“x12－x－12＝1”，如何求值？[解]将x12－x－12＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3，则2x－1＋x＋3＝23＋3＝13.1．(变条件)若将本例条件“x12＋x－12＝3”改为“x12－x－12＝1”，如何求值？[解]将x12－x－12＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3，则2x－1＋x＋3＝23＋3＝13.2．(变结论)在本例条件下，如何求x2＋x－2的值？[解]将x12＋x－12＝3两边平方可得x＋x－1＋2＝9，则x＋x－1＝7，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.解决此类问题的思路步骤如下：课堂小结提素养1．掌握两个公式：(1)(na)n＝a(n∈N＋)；(2)n为奇数且n∈N＋，nan＝a，n为偶数且n∈N＋，nan＝|a|＝aa≥0，－aa0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．1．思考辨析(1)223表示23个2相乘．()(2)amn＝man(a0，m，n∈N＋，且n1)．()(3)nan＝(na)n.()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知10α＝3,10β＝2，则102α－β＝________.92[102α－β＝102α10β＝10α210β＝322＝92.]3.－122－14＝________.2[－122－14＝(2－2)－14＝212＝2.]4．计算2723－16－12－12-2－827－23.[解]原式＝(33)23－(24)－12－(2－1)－2－32-3－23＝32－2－2－22－322＝9－14－4－94＝52.Thankyouforwatching!