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第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学习目标核心素养1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．自主预习探新知1．点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__________．垂足|Ax0＋By0＋C|A2＋B2思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？[提示]要求直线的方程应化为一般式．2．两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的的长度就是两条平行直线间的距离．(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝__________．公垂线段|C1－C2|A2＋B2思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？[提示]两条平行直线的方程都是一般式，且x,y对应的系数应分别相等．D[d＝|0＋2×0－5|12＋22＝5.]1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B．3C．2D．5C[d＝|－7－（－12）|32＋42＝1.]2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为()A．3B．2C．1D.125[d＝|3－(－2)|＝5.]3．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．－4[由|m＋1＋1|12＋12＝2，得m＝－4或m＝0，又∵m0，∴m＝－4.]4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，则m的值为________．合作探究释疑难点到直线的距离【例1】求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4.[解](1)把方程y＝34x＋14写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝|3×3－4×（－2）＋1|32＋（－4）2＝185.(2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝|0×3＋（－2）－6|02＋12＝8.法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．[跟进训练]1．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.[解]由直线方程的两点式得直线BC的方程为y－02－0＝x＋31＋3，即x－2y＋3＝0.由两点间距离公式得|BC|＝（－3－1）2＋（0－2）2＝25，点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝|－1－2×3＋3|12＋（－2）2＝455，所以S＝12|BC|·d＝12×25×455＝4，即△ABC的面积为4.两条平行线间的距离【例2】(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．(1)104(2)2x－y＋1＝0[(1)由题意，得63＝m1，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间距离公式，得|－1＋6|62＋22＝540＝104.(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|22＋12，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.]求两条平行线间距离的方法(1)求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．(2)转化为一条平行线上的点到另一条平行线的距离．[跟进训练]2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．[解]设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得|b－6|52＋（－12）2＝3，解得b＝45或b＝－33.所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0.距离公式的综合应用[探究问题]1.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两条平行直线间的距离为d，你能求出d的变化范围吗？[提示]如图所示，显然有0d≤|AB|，而|AB|＝（6＋3）2＋（2＋1）2＝310，故所求的d的变化范围为(0,310].2.上述问题中当d取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？[提示]当d取最大值时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－1kAB＝－12－（－1）6－（－3）＝－3，故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.【例3】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．[解]设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，得正方形的中心坐标为P(－1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c|12＋32，得c＝7或c＝－5(舍去).∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴|－3＋a|32＋（－1）2＝|－1－5|12＋32，得a＝9或a＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．[解]由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1.2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？[解]由x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0可得交点坐标为15，－125，又正方形中心为P(－1，0)，∴由两点式方程得对角线方程为：y－0－125－0＝x＋115＋1，即2x＋y＋2＝0.由3x－y－3＝0，x＋3y－5＝0可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为P(－1，0)，∴由两点式得另一对角线方程为：y－065－0＝x＋175＋1，即x－2y＋1＝0.综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．课堂小结提素养1．对点到直线的距离公式的两点说明(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离．(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根．特别提醒在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式．2．对两条平行直线间的距离的两点说明(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).(2)两条平行直线间的距离公式．除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝|C2－C1|A2＋B2.A[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.]1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于()A．7B．5C．3D．2B[两平行线间的距离为d＝|－1－（－c）|12＋（－2）2＝25，解得c＝－9或11.]2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为25，则c的值为()A．9B．11或－9C．－11D．9或－11C[|OP|的最小值是点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝|0＋0－4|12＋12＝22，故应选C.]3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是()A．7B．6C．22D．5x－2y＋2＝0[由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则|C－4|12＋22＝|C|12＋22，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.]4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．[解]当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝|0－0＋2k＋3|1＋k2＝2，得k＝－512，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.Thankyouforwatching!