2020-2021学年高中数学 第3章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两

第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标核心素养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)1.通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养．2.通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．自主预习探新知1．两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上________________直线l1与l2的交点是A方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解是x＝ay＝bAa＋Bb＋C＝02.两直线的位置关系法一：代数法直线l1，l2联立得方程组唯一解无穷多解无解⇔l1，l2相交，l1，l2重合，l1，l2平行．(代数问题)(几何问题)法二：几何法(前提条件：系数均不为零)方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0唯一解⇔A1A2≠B1B2⇔l1，l2相交，无穷多解⇔A1A2＝B1B2＝C1C2⇔l1，l2重合，无解⇔A1A2＝B1B2≠C1C2⇔l1，l2平行．3．两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝．③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝．（x2－x1）2＋（y2－y1）2x2＋y2|x2－x1||y2－y1|思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2的形式？[提示]可以，原因是（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．C[由x＝1，y＝2得交点坐标为(1，2)，故选C.]1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2，2)B．(1，1)C．(1，2)D．(2，1)B[由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝（3－2）2＋（7－5）2＝5.]2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为()A．5B．5C．3D．29C[|AB|＝（2＋1）2＋32＝32，|BC|＝（2＋1）2＋0＝3，|AC|＝（2－2）2＋32＝3，则△ABC的周长为6＋32.]3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是()A．23B．3＋23C．6＋32D．6＋101或－5[由两点间距离公式得（a＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a＝1或－5.]4．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．合作探究释疑难两直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.[解](1)方程组2x－y－7＝0，3x＋2y－7＝0的解为x＝3，y＝－1.因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).(2)方程组2x－6y＋4＝0，4x－12y＋8＝0有无数个解，这表明直线l1和l2重合．(3)方程组4x＋2y＋4＝0，2x＋y－3＝0无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在[跟进训练]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.[解](1)解方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，得x＝－1，y＝－1，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).(2)解方程组x＋y＋2＝0，①2x＋2y＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.两点间距离公式的应用【例2】已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．[解]法一：∵|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，又|BC|＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵kAC＝7－11－（－3）＝32，kAB＝－3－13－（－3）＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[跟进训练]2．若等腰三角形ABC的顶点A(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰△ABC的腰长．[解]因为|BD|=12|BC|=2，因为|AD|＝（5－3）2＋（4－0）2＝25.在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝|AD|2＋|BD|2＝20＋4＝26.所以等腰△ABC的腰长为26.经过两条直线交点的直线方程[探究问题]1.如何求两条直线的交点坐标？[提示]求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可．2．已知直线过一定点如何求其方程？[提示]已知直线过定点求其方程，若斜率存在只需求出斜率即可．3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？[提示]过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程).【例3】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．思路探究：求直线方程→待定系数法求方程→条件确定系数[解]法一：解方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75，所以两直线的交点坐标为－35，－75.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋75＝－3x＋35，即15x＋5y＋16＝0.法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0，（2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得2＋112x＋112－3y＋2×112－3＝0，即15x＋5y＋16＝0.1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？[解]由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为－35，－75，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－13，所以直线l的方程为y＋75＝－13x＋35，即5x＋15y＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？[解]设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．B[设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.][跟进训练]3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝0课堂小结提素养1．方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．B[由3x＋4y－5＝0，3x＋5y－6＝0，得x＝13，y＝1.]1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A.－1，13B．13，1C．1，13D．－1，－13D[由两点间距离公式得（x＋1）2＋（y－3）2＝（x－5）2＋（y－1）2，整理得3x－y－4＝0.]2．已知点M(－1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是()A.x＋3y－8＝0B．x－3y＋8＝0C．x－3y＋9＝0D．3x－y－4＝0－1[由4x＋3y＝10，2x－y＝10，得x＝4，y＝－2.把x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.]3．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．2[由两点间的距离公式，得|AC|＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB|＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC||CB|＝4222＝2.]4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则|AC||CB|＝________．5．已知点A(－1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．[解]设所求点P(x，0)，于是由|PA|＝|PB|得（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1，0)，|PA|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝22.Thankyouforwatching!