2020-2021学年高中数学 第3章 三角恒等变换 阶段综合提升 第4课 三角恒等变换课件 新人教

第三章三角恒等变换阶段综合提升第四课三角恒等变换巩固层知识整合提升层题型探究三角函数式求值【例1】(1)已知sinπ3－α＝－25，则cos2018π3－2α＝()A．－1725B．－78C.1725D.78(2)4cos50°－tan40°等于()A.2B.2＋32C.3D．22－1(3)已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．(1)C(2)C[(1)cos2018π3－2α＝cos2π3－2α＝1－2sin2π3－α＝1－2×－252＝1725.(2)4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin50°＋30°－sin40°cos40°＝3sin50°＋cos50°－sin40°cos40°＝3sin50°cos40°＝3.](3)[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝13＞0.而α∈(0，π)，故α∈0，π2.∵tanβ＝－17，0＜β＜π，∴π2＜β＜π，∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜－π2，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝1，∴2α－β＝－3π4.三角函数的求值有三种类型：1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题.2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝α＋β－β，2α＝α＋β＋α－β等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是0，π，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，选择求所求角的正弦值.[跟进训练]1．已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sin2x和cosx－sinx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．[解](1)由sinx＋cosx＝15，平方得1＋sin2x＝125，所以sin2x＝－2425，因为－π2＜x＜0，所以cosx＞sinx，所以cosx－sinx＝1－2sinxcosx＝75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosx＋sinxcosx－sinxcosx＝sin2x·cosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×17＝－24175.三角函数式化简【例2】化简：(1)1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)；(2)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.思路点拨：(1)使用倍角公式化简．(2)切化弦．[解](1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cosθ2＞0，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.三角函数式的化简要遵循“三看”原则1一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.[跟进训练]2．化简：2sin130°＋sin100°1＋3tan370°1＋cos10°.[解]原式＝2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos25°＝2sin50°＋212cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin30°＋10°2cos5°＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°]2cos5°＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°＝4sin45°·cos5°2cos5°＝2.三角恒等式的证明【例3】求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.[证明]左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋21＋cos4x1－cos4x＝23＋cos4x1－cos4x＝右边．原式得证．三角恒等式的证明问题的类型及策略1不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.[跟进训练]3．已知sin(2α＋β)＝5sinβ，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.[证明]由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα，整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα，两边同除以2cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.三角恒等变换的综合应用【例4】已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．思路点拨：(1)利用向量共线的坐标表示求值；(2)利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值．[解](1)因为a∥b，所以3sinx＝－3cosx，若(cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，所以tanx＝－33，因为x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝3cosx－3sinx＝－23sinx－π3.因为x∈[0，π]，所以x－π3∈－π3，2π3，所以－32≤sinx－π3≤1，所以－23≤f(x)≤3，当x－π3＝－π3，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－π3＝π2，即x＝5π6时，f(x)取得最小值－23.利用三角恒等变换研究性质问题的策略,先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.3有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.[跟进训练]4．已知函数f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．[解](1)函数f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，可得函数的单调增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.(2)由f(x)＝2sin2x＋π4，可得当2x＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋π8，k∈Z时，函数f(x)取得最大值为2，此时，x取值的集合为xx＝kπ＋π8，k∈Z.Thankyouforwatching!