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第三章概率3.1随机事件的概率3.1.3概率的基本性质学习目标核心素养1.了解事件间的包含关系和相等关系．2．理解互斥事件和对应事件的概念及关系．(难点、易混点)3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点)4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算.1．通过互斥事件与对立事件的学习，体会逻辑推理素养．2．借助概率的求法，提升数学运算素养.自主预习探新知1．事件的关系与运算(1)事件的关系：定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)_______(或)一定发生A⊆BB⊇A相等关系A⊆B且B⊆AA＝B事件互斥若A∩B为，则称事件A与事件B互斥________不可能事件A∩B＝∅事件对立若A∩B为，A∪B为，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U必然事件不可能事件(2)事件的运算：定义表示法图示并事件若某事件发生当且仅当，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)(或)交事件若某事件发生当且仅当，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)(或)AB事件A发生或A∪BA＋B事件A发生且A∩B事件B发生事件B发生2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：．(2)必然事件的概率为，不可能事件的概率为.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝．(4)若A与B为对立事件，则P(A)＝．P(A∪B)＝，P(A∩B)＝.[0,1]10P(A)＋P(B)1－P(B)10思考：在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？[提示]A⊆B1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有()A．A⊆BB．A⊇BC．A＝BD．ABA[由事件的包含关系知A⊆B.]2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则()A．A⊆BB．A＝BC．A与B互斥D．A与B对立C[由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥．]3．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．②③A[A∪B表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以①正确，③不正确；D∪B表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；A∪D表示的事件：至多有一件次品，即事件D，所以④不正确．]4．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．0.65[中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]合作探究释疑难互斥事件与对立事件的判定【例1】(1)下列各组事件中，不是互斥事件的是()A．一个射手进行一次射击，“命中环数大于8”与“命中环数小于6”B．统计一个班级数学期中考试成绩，“平均分数不低于90分”与“平均分数不高于90分”C．播种菜籽100粒，“发芽90粒”与“发芽80粒”D．检查某种产品，“合格率高于70%”与“合格率为70%”(2)从1,2,3，…，9中任取两数，给出下列各组事件：①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”；②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”；③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”；④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”．其中是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③(1)B(2)C[(1)A中，一个射手进行一次射击，“命中环数大于8”与“命中环数小于6”不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件；C中，播种菜籽100粒，“发芽90粒”与“发芽80粒”不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；D中，检查某种产品，“合格率高于70%”与“合格率为70%”不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件．(2)本题考查对立事件的概念．从1,2,3，…，9中任取两数，有以下三种情况：a．两个奇数；b.两个偶数；c.一个奇数和一个偶数．所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生．]互斥事件、对立事件的判定方法1利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.2利用集合的观点来判断,设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，即A＝∁IB或B＝∁IA.[跟进训练]1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是()A．对立事件B．相等事件C．互斥但不对立事件D．以上说法均不正确C[按黑牌的分配情况分解事件．黑牌分给甲——甲分得黑牌分给乙——乙分得黑牌分给丙——丙分得黑牌由此可得“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件，故选C.]事件的关系及运算【例2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.事件运算应注意的2个问题1进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.2在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.[跟进训练]2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.互斥事件与对立事件的概率公式及应用[探究问题]1．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？[提示]不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．[提示]A与B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝1，但A、B不对立．【例3】在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率．思路点拨：小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．[解]分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.1．(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．[解]分别记小明的成绩“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥．∴小明成绩在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.2．(变条件)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．[解]法一：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．课堂小结提素养1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所