2020-2021学年高中数学 第2章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的通项与

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项与递推公式学习目标核心素养1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养．2．借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．自主预习探新知1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的公式．递推思考：已知an＋1＝2an，a1＝2，a5的值是什么？[提示]a5＝32.2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项(或前几项)之间的关系表示an与之间的关系联系(1)都是表示的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式an－1n数列思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．1．符合递推关系式an＝2an－1的数列是()A.1，2，3，4，…B．1,2，2，22，…C.2，2,2，2，…D．0,2，2，22，…[答案]BD[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝()A.－3B．－11C．－5D．1985[a2＝1＋1a1＝1＋1＝2，a3＝1＋1a2＝1＋12＝32，a4＝1＋1a3＝1＋23＝53，a5＝1＋1a4＝1＋35＝85.]3．已知a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a5＝．2017[由an＋1－an＝n，得a2018－a2017＝2017.]4．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2018－a2017＝．合作探究释疑难【例1】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝anan＋1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．由递推关系写出数列的项[解](1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝anan＋1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝a1a2＝12，b2＝a2a3＝23，b3＝a3a4＝35，b4＝a4a5＝58.故{bn}的前4项依次为b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝an－12.[跟进训练]1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝2anan＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解]∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.【例2】已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)1011n，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．思路探究：①an＋1－an等于多少？②n为何值时，an＋1－an0？an＋1－an0?数列的最大(小)项的求法[解]法一：(单调性法)∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)·1011n＝1011n·（9－n）11，当n9时，an＋1－an0，即anan＋1；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＝an＋1；当n9时，an＋1－an0，即anan＋1；故a1a2a3…a9＝a10a11a12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝1010119.法二：(最大项法)设ak是数列{an}的最大项．则ak≥ak－1，ak≥ak＋1，即（k＋1）1011k≥k1011k－1，（k＋1）1011k≥（k＋2）1011k＋1，整理得10k＋10≥11k，11k＋11≥10k＋20，得9≤k≤10，∴k＝9或10，即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设ak是最大项，则有ak≥ak－1，ak≥ak＋1对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可．[跟进训练]2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[解](1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2，3，∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为n＝52＝2.5.又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n项最小，由an≤an＋1，an≤an－1，得n2－5n＋4≤（n＋1）2－5（n＋1）＋4，n2－5n＋4≤（n－1）2－5（n－1）＋4，解这个不等式组，得2≤n≤3，∴n＝2或3，∴a2＝a3且最小．∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.[探究问题]1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？由递推公式求数列的通项公式[提示]由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.即an＝2n＋18(n∈N*，n≤30).2．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？[提示]等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＝1＋2(n－1)＝2n－1.3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3，an＋1an＝2，则它的通项an是什么？[提示]等式a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝an成立．按照an＋1an＝2可得a2a1＝2，a3a2＝2，a4a3＝2，…，anan－1＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝2·2·…·2.则ana1＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N*).【例3】(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋1n（n＋1），n∈N*，求通项公式an；(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求通项公式an.思路探究：(1)先将an＋1＝an＋1n（n＋1）变形为an＋1－an＝1n－1n＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将an＝1－1nan－1(n≥2)变形为anan－1＝n－1n，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．[解](1)∵an＋1－an＝1n（n＋1），∴a2－a1＝11×2；a3－a2＝12×3；a4－a3＝13×4；…an－an－1＝1（n－1）n.以上各式累加得，an－a1＝11×2＋12×3＋…＋1（n－1）n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1－1n)＝1－1n.∴an＋1＝1－1n，∴an＝－1n(n≥2).又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－1n(n∈N*).(2)∵a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，∴anan－1＝n－1n，an＝anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a3a2×a2a1×a1＝n－1n×n－2n－1×n－3n－2×…×23×12×1＝1n.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n(n∈N*).1．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明．[解]由a1＝2，an＋1＝3an，得：a2＝3a1＝3×2，a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，…，猜想：an＝2×3n－1，证明如下：由an＋1＝3an得an＋1an＝3.因此可得a2a1＝3，a3a2＝3，a4a3＝3，…，anan－1＝3.将上面的n－1个式子相乘可得a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝3n－1.即ana1＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.2．将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋1n（n＋1），n∈N*”变为“a1＝12，anan－1＝an－1－an(n≥2)”求数列{an}的通项公式．[解]∵anan－1＝an－1－an，∴1an－1an－1＝1.∴1an＝1a1＋1a2－1a1＋(1a3－1a2)＋…＋1an－1an－1＝＝n＋1.∴1an＝n＋1，∴an＝1n＋1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当anan－1＝g(n)时，常用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1求通项公式．课堂小结提素养1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.1．判断正误(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．()(2)有些数列可能不存在最大项．()(3)递推公式是表示数列的一种方法．()(4)所有的数列都有递推公式．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×[提示]并不是所有的数列都有递推公式，如3的精确值就没有递推公式．C[A，B中没有说明某一项，无法递