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第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2.3映射学习目标核心素养1．了解映射、一一映射的概念．(重点)2．初步了解映射与函数间的联系与区别．(易混点)3．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用．(重点)1．通过学习映射的概念，培养数学抽象素养．2．通过学习有关映射的概念提升逻辑推理素养.自主预习探新知阅读教材P32的有关内容，完成下列问题．1．映射的概念两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的________元素x，B中总有的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作.f：A→B唯一非空每一个2．像与原像的概念在映射f：A→B中，称为原像，称为x的像，记作.A中的元素xB中的对应元素yf：x→y思考1：映射f：A→B的原像集一定是A，像集一定是B吗？[提示]原像集一定是A，像集不一定是B.当B中存在元素没有原像时，像集不是B.3．一一映射的概念阅读教材P33的有关内容，完成下列问题．一一映射是一种特殊的映射，它满足：(1)A中每一个元素在B中都有与之对应；(2)A中的元素的像也不同；(3)B中的每一个元素都有．原像唯一的像不同思考2：对于一一映射f：A→B，若A中有n个元素，则B中一定也有n个元素吗？[提示]B中一定有n个元素．4．函数与映射的关系阅读教材P33的有关内容，完成下列问题．设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个，那么映射就叫作A到B的函数．即函数是一种特殊的映射，是从到的映射．非空数集映射f：A→B非空数集思考3：f：学生→该学生的学籍号，是映射，但它是函数吗？[提示]不是函数，因为集合{学生}不是数集．1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b，c}，则从集合A到B的一一映射的个数为()A．4B．6C．9D．12B[共6个．]2．设A＝Z，B＝{0,1}，从A到B的映射是“求被2除的余数”，则A中元素－3的像是________．1[因为－3＝(－2)×2＋1，所以，－3的像是1.]3．下列集合A到集合B的映射f不是函数的有________．①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；③A＝N，B＝Q，f：A中的数取倒数．②③[①当x∈A时，y＝x2∈B，是函数，②当x＝1，y＝±1，不是函数，③当x＝0时，像不存在．]4．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.5[由f(2)＝3，得2a－1＝3，解得a＝2，所以f(3)＝2×3－1＝5.]合作探究释疑难映射、一一映射的判断【例1】已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判断下列对应是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并说明理由．(1)f：x→y＝13x；(2)f：x→y＝(x－2)2；(3)f：x→y＝14(x－1)2.[思路探究]根据映射、一一映射的定义判断．[解](1)因为0≤x≤3，所以0≤13x≤1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：A→B是集合A到集合B的映射．对于集合B中的每一个元素y，由x＝3y及0≤y≤1，有0≤3y≤3,0≤x≤3.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原像，且这样的原像只有一个，所以对应f：A→B是一一映射；(2)因为0≤x≤3，所以－2≤x－2≤1，所以0≤(x－2)2≤4，所以集合A中的某些元素，如x＝0，在集合B中没有像，因此对应f：A→B不是映射，更不是一一映射；(3)因为0≤x≤3，所以－1≤x－1≤2,0≤14(x－1)2≤1，所以集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：A→B是映射．对于集合A中的元素x＝0和x＝2，都对应于集合B中的同一个元素14，所以不是一一映射．1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．[跟进训练]1．下列集合A到集合B的对应中是一一映射的为________．(填序号)①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x；②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝1x；③A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝±|x|；④A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径不同的圆}，f：作等边三角形的内切圆．②④[①是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素(正整数)没有原像．②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数．③不是映射，因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和－2)．④是一一映射．]求像与原像【例2】设f：A→B是一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)(1)求A中元素(－1,2)的像；(2)求B中元素(－1,2)的原像．[思路探究]从f：(x，y)→(x－y，x＋y)入手，其中(x，y)是原像，(x－y，x＋y)是像．[解](1)当x＝－1，y＝2时，x－y＝－1－2＝－3，x＋y＝－1＋2＝1.所以(－1,2)的像是(－3,1)．(2)由x－y＝－1，x＋y＝2，得x＝12，y＝32.所以(－1,2)的原像是12，32.1．(变条件)设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是f：x→2x－1，从B到C的映射是g：y→12y＋1，则经过两次映射，A中元素1在C中的像为________．13[f：1→2×1－1＝1，g：1→12×1＋1＝13.]2．(变结论)已知f：x→y＝|x|＋1是从集合R到R的一个映射，若b不是该映射的像，则b的取值范围是________．(－∞，1)[∵y＝|x|＋1≥1，∴该映射的像集是[1，＋∞)．∴b的取值范围是(－∞，1)．]在求像和原像时要分清原像和像，特别注意原像到像的对应关系.对A中元素求像，只需将原像代入对应关系即可.对B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程组求解.求映射个数[探究问题]1．已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2,3}，试建立一个从A到B像集为{1,2}的映射．提示：或2．对于探究1中的集合A，B，可以建立多少个从A到B的映射？提示：像集分别为{1}，{2}，{3}的映射各1个；像集分别为{1,2}，{1,3}，{2,3}的映射各2个，所以，从A到B可以建立9个映射．3．对于探究1中的集合A，B，可以建立多少个从B到A的映射？提示：像集分别为{a}，{b}的映射各1个，像集为{a，b}的映射有6个，如下：所以，从B到A可以建立8个映射．【例3】已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B，则满足f(a)≤f(b)的映射有多少个？[思路探究]建立映射就是给原像找像，一种找法对应一个映射，为了避免重与漏，可以按f(a)的可能取值分类寻找．[解]因为f(a)≤f(b)，所以，当f(a)＝1时，f(b)＝1,2,3；当f(a)＝2时，f(b)＝2,3；当f(a)＝3时，f(b)＝3.所以，满足条件的映射共6个．1．确定映射，就是给每个原像找像，每种找法对应一个映射．2．对于求满足某些特定要求的映射个数时，可将映射具体化、形象化(如列表、画图等)．[跟进训练]2．设A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，若从A到B的映射满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．[解]列表如下：由上表可知，所求的映射有7个．课堂小结提素养1．映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应．(2)唯一性：A中任意元素x在B中都有唯一元素y与之对应．(3)方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射．2．一一映射和映射的区别与联系映射f：A→B一一映射f：A→B对应方式“多对一”或“一对一”一对一原像B中的一些元素可能没有原像B中的任何元素都有唯一的原像像A中的几个元素可能对应同一个像A中的任何元素都对应不同的像方向性B到A不一定是映射B到A是一一映射3.映射与函数的关系(1)区别：对于映射f：A→B来说，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．(2)联系：映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射．1．思考辨析(1)对于映射f：A→B，集合B中的每一个元素都有原像．()(2)若A＝Z，B＝Q，则f：x→y＝3x是由集合A到集合B的映射．()(3)f：x→y＝x＋1是由自然数集到自然数集的一一映射．()[解析](1)×；(2)×，0∈A，但没有像；(3)×，0∈N，但没有原像．[答案](1)×(2)×(3)×2．若映射f：x→y＝12x－1，则1的像是________．－12[当x＝1时，y＝12×1－1＝－12.]3．若映射f：x→y＝x2－3x－2，则2的原像是________．－1或4[当x2－3x－2＝2时，x＝－1或4.所以，2的原像为－1或4.]4．判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？(1)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；(2)A＝B＝Z，对应关系f：x→y＝x＋1；(3)A＝B＝N，对应关系f：x→y＝(x－2)2.[解](1)不是映射，(2)与(3)是映射，也是函数，其中(2)是一一映射．Thankyouforwatching!