2020-2021学年高中数学 第1章 三角函数 阶段综合提升 第2课 三角函数的图象与性质及其应用

第一章三角函数阶段综合提升第二课三角函数的图象与性质及其应用巩固层知识整合提升层题型探究三角函数的图象及解析式的确定【例1】(1)函数y＝tan12x－π3在一个周期内的图象是()(2)如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是()A．y＝sinx＋π3B．y＝sinx－π3C．y＝sin2x＋π6D．y＝sin2x－π6(3)已知f(x)＝1＋2sin2x－π4，画出f(x)在x∈－π2，π2上的图象．(1)A(2)A[(1)y＝tan12x－π3的周期T＝π12＝2π，排除B，D.当x＝0时，tan－π3＝－3.故选A.(2)由图象易看出A＝1，由4π6＋π3＝2πω得ω＝1，再由π6＋φ＝π2得φ＝π3，故选A.](3)[解]∵x∈－π2，π2，∴2x－π4∈－54π，34π.列表：x－π2－38π－π8π838ππ22x－π4－54π－π－π20π234πf(x)211－211＋22描点连线如图所示：1．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤：第一步：列表，由ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值．x－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωωx＋φ0π2π32π2πy0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．2．由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．①平衡点法由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asinωx＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－φω，则可求φ.②确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．③利用单调性将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sinx的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.[跟进训练]1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的振幅为4，周期为6π，初相为－π3.(1)写出这个函数的解析式；(2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象．[解](1)由已知得A＝4，ω＝2πT＝13，φ＝－π3，因此这个函数的解析式为y＝4sin13x－π3.(2)列表：xπ5π24π11π27π13x－π30π2π3π22πy＝4sin13x－π3040－40描点画图，其图象如图所示：三角函数的图象变换问题【例2】(1)将函数f(x)＝2sin2x－π6的图象向右平移m个单位(m＞0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象上的一个最低点为M2π3，－2，周期为π.①求f(x)的解析式；②将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；③当x∈0，π12时，求函数f(x)的最大值和最小值．思路点拨：(1)使平移后的初相位为kπ＋π2(k∈Z)即可．(2)确定解析式→图象变换→研究函数的性质(1)π6[f(x)＝2sin2x－π6向右平移m个单位得y＝2sin2x－2m－π6为偶函数，所以2m＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)⇒m＝π6＋kπ2(k∈Z)，因为m＞0，所以mmin＝π6.](2)[解]①由题可知T＝2πω＝π，∴ω＝2.又f(x)min＝－2，∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin4π3＋φ＝－1.∵0＜φ＜π2，∴4π3＜4π3＋φ＜11π6.∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin2x＋π6.②y＝2sin2x＋π6―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y＝2sin12×2x＋π6＝2sinx＋π6――――――→沿x轴向右平移π6个单位y＝2sinx－π6＋π6＝2sinx，∴g(x)＝2sinx.③∵0≤x≤π12，∴π6≤2x＋π6≤π3.∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)min＝2sinπ6＝1，当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)max＝2sinπ3＝3.1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法．2．对称变换．(1)y＝f(x)的图象――――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；(2)y＝f(x)的图象――――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；(3)y＝f(x)的图象――――→关于0，0对称y＝－f(－x)的图象．[跟进训练]2．将函数y＝sin2x－π3的图象先沿x轴向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，求与最终的图象对应的函数的解析式．[解]将原函数的图象沿x轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sin2x－π4－π3＝sin2x－5π6，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，则与其对应的函数的解析式为y＝sin4x－5π6.三角函数的性质【例3】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是()A.0，π2B.π2，πC.π4，π2D.3π4，π(2)已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．①求f(x)的单调区间；②若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值．思路点拨：(1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z求增区间，由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z求减区间；②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．(1)B[因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以φ＝π2，f(x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x，令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－π2≤x≤kπ，可得函数f(x)的递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为π2，π.](2)①由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．②∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.1．求本例(2)中函数y＝f(x)，x∈R取最大值时x的取值集合．[解]当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝π6＋kπ，k∈Z.2．在本例(2)的条件下，求不等式f(x)＜1的解集．[解]由f(x)＜1得2sin2x＋π6＋2＜1，所以sin2x＋π6＜－12，所以2kπ－5π6＜2x＋π6＜2kπ－π6，k∈Z.解得kπ－π2＜x＜kπ－π6，k∈Z.所以不等式f(x)＜1的解集为xkπ－π2＜x＜kπ－π6，k∈Z.三角函数性质的理解与记忆(1)函数y＝sinx和y＝cosx的周期是2π，y＝tanx的周期是π；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期是2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是π|ω|.(2)函数y＝sinx和y＝cosx的有界性为：－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，函数y＝tanx没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．(3)函数y＝sinx在－π2＋2kπ，π2＋2kπ上递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ上递减；函数y＝cosx在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；函数y＝tanx在－π2＋kπ，π2＋kπ上递增，以上k∈Z.(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(ωx＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及A对单调性的影响．三角函数的实际应用【例4】(1)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．(2)如图，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率．(1)8[根据图象得函数最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.](2)当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y＝rsin(ωt＋φ)，即为所求的函数关系式．点P的运动周期为T＝2πω，频率为f＝1T＝ω2π.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．[跟进训练]3．某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0，－π＜φ＜0)．根据图中数据求函数解析式．[解]由图象可知ymax＝900，ymin＝700，且A＋b＝ymax，－A＋b＝ymin，所以A＝ymax－ymin2＝900－7002＝100，b＝ymax＋ymin2＝800，且T＝12＝2πω，所以ω＝π6，将(7,900)代入函数解析式得π6×7＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.所以φ＝－23π＋2kπ，k∈Z.因为－π＜φ＜0，所以φ＝－23π，因此所求的函数解析式为：y＝100sinπ6x－2π3＋800.Thankyouforwatching!