2020-2021学年高中数学 第1章 三角函数 1.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象课件 新

第一章三角函数§1数列1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象学习目标1.理解参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点)2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式．(重点)3．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(重点、易混点)核心素养1.通过观察参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变化的影响，提升学生直观想象素养．2．通过对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象和性质的研究，提升数学抽象素养.自主预习探新知1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响4．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．①先平移后伸缩y＝sinx的图象――――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移个单位长度的图象的图象――――――――――→纵坐标变为原来的__倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)的图象．|φ|y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)A②先伸缩后平移y＝sinx的图象的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移个单位长度y＝sin(ωx＋φ)的图象――――――――――→纵坐标变为原来的__倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)的图象．|φ|ωAy＝sinωx思考：由函数y＝sinωx的图象平移多少个单位得到y＝sin(ωx＋φ)个单位？为什么？[提示]平移|φ|ω个单位，而不是平移|φ|单位，原因是图象的变换是针对x而言，并非针对ωx而言．5．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义1．函数y＝sin4x的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到()A．所有点的横坐标变为原来的4倍B．所有点的横坐标变为原来的14C．所有点的纵坐标变为原来的4倍D．所有点的纵坐标变为原来的14B[y＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的14后变为y＝sin4x的图象．]2．要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度B[y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，故只需将y＝sin4x图象向右平移π12个单位即可得到．]3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝.4[由已知得A＋1＝5，故A＝4.]4．函数y＝3sin12x－π6的频率为，相位为，初相为．14π12x－π6－π6[频率为1T＝122π＝14π，相位为12x－π6，初相为－π6.]合作探究释疑难作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】用“五点法”画函数y＝2sin3x＋π6在一个周期内的简图．思路点拨：列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x＋π6取0，π2，π，3π2，2π即可找到五点．[解]先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋π6，则x＝13X－π6，列表如下：X0π2π3π22πx－π18π95π184π911π18y020－201．本例中把“一个周期内”改为“0，2π3”，又如何作图？[解]∵x∈0，2π3，∴3x＋π6∈π6，13π6，列表如下：3x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π95π184π911π182π3y120－201描点，连线2．本例中，把“五点法”改为“图象变换法”，怎样画法？[解]法一：(先平移再伸缩)法二：(先伸缩再平移)1．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般有两种方法：(1)“五点法”；(2)图象变换法．2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点．3．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤是：第一步：列表：ωx＋φ0π2π32π2πx－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωy0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．[跟进训练]1．已知f(x)＝1＋2sin2x－π4，画出f(x)在－π2，π2上的图象．[解]列表：x－π2－3π8－π8π83π8π22x－π4－5π4－π－π20π23π4f(x)211－211＋22三角函数图象之间的变换【例2】(1)将函数y＝2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为．(2)将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋π4＋1的图象？思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．(2)法一：y＝sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．(1)y＝－2cos2x－3[y＝2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y＝2cos2x＋π3＋π3＝2cos(2x＋π)＝－2cos2x，再向下平移3个单位长度得y＝－2cos2x－3的图象．](2)[解]法一：(先伸缩法)①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移π8个单位，得y＝2sin2x＋π8的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin2x＋π4＋1的图象．法二：(先平移法)①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移π4个单位，得y＝sinx＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y＝sin2x＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin2x＋π4的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin2x＋π4＋1的图象．1．本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数y＝2sin2x＋π4＋1图象怎样变换可得到函数y＝sinx的图象？2．本例(2)中把“y＝sinx”改为“y＝cosx”，该怎样变换？由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y＝sinx―――――→相位变换y＝sin(x＋φ)――――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．[跟进训练]2．(1)要得到y＝cos2x－π4的图象，只要将y＝sin2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π8个单位C．向左平移π4个单位D．向右平移π4个单位(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y＝2sin12x＋π3，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝3sinxC．f(x)＝3cosx＋3D．f(x)＝sin3x(1)A(2)A[(1)因为y＝cos2x－π4＝sin2x－π4＋π2＝sin2x＋π4＝sin2x＋π8，所以将y＝sin2x的图象向左平移π8个单位，得到y＝cos2x－π4的图象．已知函数图象求解析式【例3】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2cosx2－π4＋4B．y＝2cosx2＋π4＋4C．y＝4cosx2－π4＋2D．y＝4cosx2＋π4＋2(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．思路点拨：由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.(1)A[由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函数f(x)的周期为π2－－π2×4＝4π.又ω＞0，所以ω＝12，又因为点π2，6在函数f(x)的图象上，所以6＝2cos12×π2＋φ＋4，所以cosπ4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－π4，k∈Z，又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f(x)＝2cos12x－π4＋4.](2)[解]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，又由点－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3，所以f(x)＝3sin2x＋π3.法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点－π6，0，所以f－π6＝3sin2×－π6＋φ＝0，所以sin－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝kπ(k∈Z)．又因为|φ|＜π2，所以k＝0，φ＝π3，所以f(x)＝3sin2x＋π3.法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移π6个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin2x＋π6＝3sin2x＋π3.确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.[跟进训练]3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝2sin32x＋π4B．f(x)＝2sin23x＋2π9C．f(x)＝2sin32x＋5π4D．f(x)＝2sin23x＋25π18C[根据图象得A＝2，34T＝5π6－－π6，可得T＝4π3，∴ω＝2πT＝32，又f(x)过点－π6，0，可得2sin32×－π6＋φ＝0，由五点作图法可得32×－π6＋φ＝π，解得φ＝5π4，所以f(x)＝2sin32x＋5π4.故选C.]三角函数图象与性质的综合应用[探究问题]1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Aco