2020-2021学年高中数学 第1章 空间几何体章末综合提升课件 新人教A版必修2

第一章空间几何体章末综合提升巩固层知识整合提升层题型探究空间几何体的结构特征【例1】(1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个(1)A(2)D[(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，正确．(2)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．[跟进训练]1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶3D．3∶4C[将棱台还原为棱锥，如图所示，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则hh＋x12＝1636，解得x1＝h2，hh＋x1＋x22＝1681，解得x2＝34h.故x1x2＝23.]空间几何体的表面积与体积【例2】(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．4πB．(4＋2)πC．6πD．(5＋2)π(2)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．(1)D(2)13[(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋12×2π×1×12＋12＝(5＋2)π.(2)∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，2.∵四棱锥A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为22，∴V四棱锥A1­BB1D1D＝13Sh＝13×(1×2)×22＝13.]空间几何体的表面积与体积的求法：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．[跟进训练]2．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC­A′B′C′的体积．[解]连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是13V.而四棱锥A′­BCC′B′的体积为13Sa，故有13V＋13Sa＝V，即V＝12Sa.与球有关的切、接问题【例3】(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()A．443πB．4849πC．814πD．16π(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是()A．963B．163C．243D．483(1)B(2)D[(1)如图，设PE为正四棱锥P­ABCD的高，则正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，又底面边长为4,所以AE＝22，PE＝6,所以侧棱长PA＝PE2＋AE2＝62＋（22）2＝44＝211.设球的半径为R,则PF＝2R.由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝113，所以S＝4πR2＝4π×1132＝484π9，故选B.(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有a2×33＝R＝2，解得a＝43.故此三棱柱的体积V＝12×32×(43)2×4＝483.]与球相关问题的解题策略：(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．[跟进训练]3．已知三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P­ABC的外接球的体积为________．2732π[∵三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，∴其外接球半径R＝332.因此三棱锥P­ABC的外接球的体积V＝4π3×3323＝2732π.]Thankyouforwatching!