2020-2021学年高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学习目标核心素养1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养．2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养．自主预习探新知1．余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方等于减去这两边与它们的的两倍公式表达a2＝，b2＝，c2＝变形cosA＝_________；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝__________其它两边的平方的和夹角的余弦的积b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋b2－c22ab思考：在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？[提示]不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．2．余弦定理及其变形的应用(1)利用余弦定理的变形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为．(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．①已知三边，求．②已知和它们的，求第三边和其他两个角．直角钝角锐角三角两边夹角思考：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？[提示]由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2abcosC，c唯一，cosB＝a2＋c2－b22ac，因为0Bπ，所以B唯一，从而A也唯一．所以三角形其他元素唯一确定．219[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，c＝219.]1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝．60°[cosB＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，B＝60°.]2．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B＝．120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，又∵A为△ABC的内角，∴A＝120°.]3．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝．4．以下说法正确的是(填序号).①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．②③④[①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．]合作探究释疑难【例1】在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.已知两边与一角解三角形[解]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由bc，B＝30°，bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋（33）2＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[跟进训练]1．在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[解]根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22.又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.【例2】已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC的各角的大小．思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．已知三边解三角形[解]设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)，利用余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋（3＋1）2k2－4k226（3＋1）k2＝22，∴∠A＝45°.同理可得cosB＝12，∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[跟进训练]2．在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C＝()A．60°B．45°C．135°D．45°或135°D[∵cosC＝a2＋b2－c22ab，∴cos2C＝a4＋b4＋c4－2a2c2－2b2c2＋2a2b24a2b2.∵a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，∴a4＋b4＋c4－2c2a2－2c2b2＝0，∴cos2C＝2a2b24a2b2＝12，∴cosC＝±22，∴C＝45°或135°.][探究问题]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？正、余弦定理的综合应用[提示]设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？[提示]因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝a2＋b2－c22ab＝0，即cosC＝0，所以C＝π2，反之若C＝π2，则cosC＝0，即a2＋b2－c22ab＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．思路探究：[解]法一：(角化边)∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由正、余弦定理可得：a－c·a2＋c2－b22ac·b＝(b－c·b2＋c2－a22bc)·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)·a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA.∴sin2B＝sin2A.∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．1．(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA)·sinA”换为“acosA＋bcosB＝ccosC”其它条件不变，试判断三角形的形状．[解]由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA)·sinA”换为“lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B为锐角”判断△ABC的形状．[解]由lgsinB＝－lg2＝lg22，可得sinB＝22，又B为锐角，∴B＝45°.由lga－lgc＝－lg2，得ac＝22，∴c＝2a.又∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝a2＋2a2－22a2×22＝a2，∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再根据边之间的关系判断．(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．[跟进训练]3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.[解](1)由题意及正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故由正弦定理得a＝b·sinAsinB＝1＋3.由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·sinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.课堂小结提素养1．本节课要掌握的题目类型(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．(2)已知三边解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状．2．本节课的易错点有两处(1)正弦定理和余弦定理的选择已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．1．判断正误(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．()(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．()[答案](1)√(2)√(3)×[提示]由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．B[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋（43）2－（13）22×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.]2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A．π3B．π6C．π4D．π12C[由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝－12，∴C＝120°.]3．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°13[由B＝C，2b＝3a，可得b＝c＝32a，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32