2020-2021学年高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第2课时正弦定理(2)学习目标核心素养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2.能根据条件，判断三角形解的个数．3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养．2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养．自主预习探新知1．正弦定理及其变形(1)定理内容：．(2)正弦定理的常见变形：①sinA∶sinB∶sinC＝；②asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝；③a＝，b＝，c＝；④sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____．asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为外接圆半径)a∶b∶c2R2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2R思考：在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?[提示]可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB－cosAsinB＝0.2．对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数①a＝bsinA；②a≥b_____bsinAab______A为锐角_________无解一解两解absinA思考：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．[提示]sinB＝basinA＝109×32＝539，而325391，所以当B为锐角时，满足sinB＝539的角有60°B90°，故对应的钝角B有90°B120°，也满足A＋B180°，故三角形有两解．3．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝12bcsinA＝＝，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝12ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．12acsinB12absinCB[由正弦定理可得sinA＝sinC⇒a2R＝c2R，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]1．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形B[由题意可知，△ABC的面积为12acsinB＝12×3×2×sin30°＝32.]2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝30°，a＝3，c＝2，则△ABC的面积为()A．12B．32C．32D．332A[由ba和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有()A．一解B．两解C．无解D．无法确定45°[根据正弦定理知sinAa＝sinBb，结合已知条件可得sinB＝cosB，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.]4．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B的值为．合作探究释疑难【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.三角形解的个数的判断[解](1)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°，讨论如下：∵bsinA＝20sin80°20sin60°＝103，∴absinA，∴本题无解．(2)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA，∴bsinAab，∴三角形有两解．由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝asinC1sinA＝23sin90°sin30°＝43；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝asinC2sinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝43；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝23.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．[跟进训练]1．满足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，则k的取值范围是()A．k＝83B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或k＝83D[已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC＜BCsinB，即12＜ksin60°，即k＞83时，三角形无解；当AC＝BCsinB，即12＝ksin60°，即k＝83时，三角形有一解；当BCsinB＜AC＜BC，即32k＜12＜k，即12＜k＜83时，三角形有两解；当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有一解．综上，0＜k≤12或k＝83时，三角形有一解．]【例2】在△ABC中，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.思路探究：根据C＝π4及cosB2＝255.利用sinA＝sin(B＋C)求出sinA的值．然后利用正弦定理asinA＝csinC求出c值．利用S＝12acsinB求解．三角形的面积[解]∵cosB2＝255，∴cosB＝2cos2B2－1＝35.∴B∈0，π2，∴sinB＝45.∵C＝π4，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210.∵asinA＝csinC，∴c＝asinCsinA＝27210×22＝107.∴S＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝12ab·sinC＝12ac·sinB＝12bc·sinA．[跟进训练]2．(1)在△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝．(2)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于．(1)23(2)32或34[(1)∵cosC＝13，∴C∈(0°，90°)，∴sinC＝1－132＝223，又S△ABC＝12absinC＝12·32·b·223＝43，∴b＝23.(2)由正弦定理得sinC＝AB·sinBAC＝3×121＝32，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32或34.][探究问题]1．你能用坐标法证明S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB吗？正弦定理的综合应用[提示](以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcosC，bsinC).过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsinC，所以△ABC的面积S＝12·BC·AE＝12·a·bsinC＝12absinC.同理可得S＝12bcsinA，S＝12acsinB.故S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？[提示](1)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；A＋B2＝π2－C2⇒sinA＋B2＝cosC2.(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋Bπ2，A＋Cπ2，B＋Cπ2；A＋Bπ2⇔Aπ2－B⇔sinAcosB，cosAsinB．【例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C.(1)求C的大小；(2)若c＝23，A＝π6，求△ABC的面积．思路探究：(1)由m·n＝－sin2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解．[解](1)由题意，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝－sin2C，即sin(A＋B)＝－sin2C，sinC＝－2sinCcosC.由0Cπ，得sinC0.所以cosC＝－12.C＝2π3.(2)由C＝2π3，A＝π6，得B＝π－A－C＝π6.由正弦定理，bsinB＝csinC，即bsinπ6＝23sin2π3，解得b＝2.所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×2×23×sinπ6＝3.(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C”换为“若a＋c＝2b，2cos2B－8cosB＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状．[解]∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝12或cosB＝32(舍去).∵0Bπ，∴B＝π3.∵a＋c＝2b.由正弦定理，得sinA＋sinC＝2sinB＝2sinπ3＝3.∴sinA＋sin2π3－A＝3，∴sinA＋sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3.化简得32sinA＋32cosA＝3，∴sinA＋π6＝1.∵0A2π3，∴π6A＋π65π6，∴A＋π6＝π2.∴A＝π3，C＝π3.∴△ABC是等边三角形．借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．课堂小结提素养1．会用正弦定理的四个变形(1)(角化边)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(2)(边化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)(边角互换)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)(比例的性质)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B⇔sinA＞sinB，A＞B⇔cosA＜cosB；a＞b⇔A＞B；sinA＋sinB＞sinC．(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；A＋B2＝π2－C2⇒sinA＋B2＝cosC2.(3)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞π2，A＋C＞π2，B＋C＞π2；A＋B＞π2⇔A＞π2－B⇔sinA＞cosB，cosA＜sinB．1．判断正误(1)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立．()(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝23，则B＝60°.()(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](2)由正弦定理可知asinA＝bsinB，即2sin30°＝23sinB，所以sinB＝32，则B＝60°或120°，又因为ba，所以BA，故B＝60°或120°.(3)当bsinAab时，△ABC有两解．B[因为A＝45°90°，a＝43＝b，所以△ABC的个数为1.]2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为()A．0B．1C．2D．无数多B[由S＝12absinC＝12×4×3×32得S＝33，故选B.]3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为