2020-2021学年高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第1课时正弦定理(1)学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养．2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养了学生数学运算的核心素养．自主预习探新知1．正弦定理所对角的正弦asinA＝bsinB＝csinC思考：如图所示，在Rt△ABC中，asinA，bsinB，csinC各自等于什么？[提示]asinA＝bsinB＝csinC＝c.2．解三角形(1)一般地，把三角形的和它们的叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求的过程叫做解三角形．三个角A，B，C对边a，b，c其他元素思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？[提示]利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．B[在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.]1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()A．ab＝cosAcosBB．ab＝sinAsinBC．asinB＝bcosAD．acosB＝bsinA23[由正弦定理得：32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝32×sin45°sin60°＝23.]2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝．2[AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin45°＝2.]3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于．π2[由正弦定理得：3sinπ3＝3sinB，所以sinB＝12.又ab，所以AB，所以B＝π6，所以C＝π－π3＋π6＝π2.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C＝．合作探究释疑难【例1】在钝角△ABC中，证明正弦定理．正弦定理证明[证明]如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．2．要证asinA＝bsinB，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应同一线段．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．[跟进训练]1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明asinA＝2R.[证明]连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝BCA′B＝a2R，∴sinA＝a2R，即asinA＝2R.【例2】在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．[解]因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由asinA＝csinC得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，所以b＝csinBsinC＝10×sin（A＋C）sin30°＝20×2＋64＝52＋56.已知两角及一边解三角形已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．[跟进训练]2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.[解]由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝csinC，得c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin（60°＋45°）sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2).【例3】(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝．(2)在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形．已知两边及一边的对角解三角形(1)75°[由题意得：bsinB＝csinC，所以sinB＝bsinCc＝6×323＝22，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.](2)[解]因为asinA＝csinC，所以sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.所以b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[跟进训练]3．在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则角C等于()A．π4或3π4B．3π4C．π4D．π6C[由正弦定理，得sinC＝sinA·ABBC＝22.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜π3，故C＝π4.][探究问题]1．由asinA＝2R，bsinB＝2R，csinC＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？[提示](角化边)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，(边化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，(边角互化)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．三角形形状的判断2．三角形中常见边角之间的关系有哪些？[提示]在△ABC中，(1)a＋b＞c，|a－b|＜c，(2)a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB，(3)A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2.【例4】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．思路探究：解决本题的关键是利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA＝2sinBcosC求解．[解]法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝22.∵0°B90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°B－C90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．(变条件)将本例题条件“sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acosC”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解]∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sinAcosC.∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝π2，即△ABC是直角三角形．利用正弦定理判断三角形形状的两条途径(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．课堂小结提素养1．要掌握正弦定理的三个应用(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．(3)判断三角形的形状．2．本节课的易错点有两处(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．1．判断正误(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)正弦定理不适用于直角三角形．()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．()[答案](1)×(2)×(3)√[提示]正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．2．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不等边三角形B[由正弦定理知c＝2RsinC，a＝2RsinA，故sinC＝2sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝cosAsinB，即sin(A－B)＝0，所以A＝B.故△ABC为等腰三角形．]B[由正弦定理得，b＝asinBsinA＝10×3212＝103.]3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于()A．52B．103C．1033D．564．已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形．[解]由正弦定理及已知条件有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32.∵ab，∴AB＝45°.∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.Thankyouforwatching!