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第一章集合章末综合提升巩固层知识整合提升层题型探究学好集合的关键是把握“五个三”1.集合中元素的三性集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．判断所给对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”“无序性”．【例1】下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3B[①是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法判断其是否在地球的周围，因此它不满足集合元素的确定性．②是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合．③是错误的，因为集合中的元素具有无序性．]2.集合的三种表示方法集合的常用表示法有列举法、描述法和Venn图法．这三种表示方法各有特点，应结合具体问题适当选用．特别要注意的是，在用描述法表示集合时，一定要弄清代表元素是什么．【例2】设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则下列关系中不正确的一个是()A．A∩C＝B．B∩C＝C．BAD．A∪B＝CD[集合A是数集，是二次函数y＝x2的自变量x组成的集合，即A＝R；集合B也是数集，是二次函数y＝x2的因变量y组成的集合，即B＝{y|y≥0}；而集合C是点集，是二次函数y＝x2图像上所有点组成的集合，所以A∪B＝R≠C.]3．集合的三类按照集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集三类．其中，空集是一个特殊的集合，它不含有任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系的问题时，它往往易被忽视而导致解题出现失误．【例3】已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m＋1≤x≤3m－2}，若A∩B＝B，求实数m的取值范围．[解]∵A∩B＝B，∴BA.当B＝时，m＋13m－2，即m32，此时满足BA；当B≠时，要使BA，需满足－1≤m＋1，m＋1≤3m－2，3m－2≤3，解得32≤m≤53.综上可得，若A∩B＝B，则实数m的取值范围是m≤53.4.集合与集合的三种关系在一般情况下，集合与集合的关系有两种，即包含与不包含，但包含又可分为真包含和相等，所以集合与集合之间可看作有三种关系．在判断集合与集合的关系时，要重视使用Venn图，体会直观图对理解抽象概念的作用．【例4】集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，证明：X＝Y.[思路探究]要证明X＝Y，应证明XY，且YX.[解]①设x0∈X，则x0＝2n0＋1，且n0∈Z.若n0是偶数，可设n0＝2m，m∈Z，则x0＝4m＋1，∴x0∈Y；若n0是奇数，可设n0＝2m－1，m∈Z，则x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，∴x0∈Y.∴不论n0是奇数还是偶数，都有x0∈Y.∴XY.②设y0∈Y，则y0＝4k0＋1或y0＝4k0－1，k0∈Z.∵y0＝4k0＋1＝2×(2k0)＋1，或y0＝4k0－1＝2×(2k0－1)＋1，k0∈Z，又∵2k0∈Z,2k0－1∈Z，∴y0∈X，∴YX.综上所述，X＝Y.5.集合的三种运算集合有交、并、补三种运算，设全集为U，已知集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，UA＝{x|x∈U，且xA}．解决具体集合的运算问题，关键在于把握集合的“元素构成”——集合由哪些元素组成；涉及与不等式有关的集合运算问题，应注意利用数轴来求解，特别要注意端点的取值；解决抽象集合的运算问题，应注意运用Venn图把它形象化、直观化．【例5】已知全集U＝{x|－4≤x≤4，x∈Z}，A＝{－1，a2＋1，a2－3}，B＝{a－3，a－1，a＋1}，且A∩B＝{－2}，求U(A∪B)．[思路探究]要求U(A∪B)，应先求出A∪B，这样问题就转化为求参数a的值．观察集合A、B中元素的特点，若A∩B＝{－2}，则只能a2－3＝－2成立．[解]∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.又∵a2＋10，∴a2－3＝－2，解得a＝±1.当a＝1时，A＝{－1,2，－2}，B＝{－2,0,2}，则A∩B＝{－2,2}与A∩B＝{－2}矛盾．∴a≠1.当a＝－1时，A＝{－1,2，－2}，B＝{－4，－2,0}，则A∩B＝{－2}符合题意．此时A∪B＝{－4，－2，－1,0,2}．又∵U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，∴U(A∪B)＝{－3,1,3,4}．集合中蕴涵的数学思想方法数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁．在日常学习中，要注意数学思想方法在解题中的运用，要增强运用数学思想方法解决问题的意识，这样能在求解过程中迅速找到解题思路或简化解题过程．1.数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．【例6】已知集合A＝{x|－1x3}，B＝{x|x－m2}．(1)若A∩B＝，求实数m的取值范围；(2)若AB，求实数m的取值范围．[解]由题意得A＝{x|－1x3}，B＝{x|xm＋2}．(1)在数轴上画出集合A和B，若A∩B＝，则实数m＋2落在－1的左边或与－1重合，∴m＋2≤－1，即m≤－3.(2)在数轴上画出集合A和B，若AB，则实数m＋2落在3的右边或与3重合，∴m＋2≥3，即m≥1.2.分类讨论思想分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类讨论思想解决分类讨论问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题．首先，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，有利于对能力的考查，运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”．【例7】已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}，若集合A中至多有一个元素，则实数a的值是()A．a＝0B．a≥98C．a＝0或a≥98D．不能确定[思路探究]本题的实质是根据方程ax2－3x＋2＝0的实数根情况，确定实数a的取值．C[由题意知可以分为有一个实根和没有实根和两个相等的实根三种情况讨论．(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，解得x＝23，符合题意；(2)当a≠0时，由一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等实根或没有实根可得Δ＝9－8a≤0，即a≥98.综上可知，a＝0或a≥98.]3．转化与化归思想在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”“A∩B＝A”“A∪B＝B”“AB”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．【例8】若不等式0≤x＋1≤2成立时，则关于x的不等式x－a－10也成立．求实数a的取值范围．[思路探究]若从不等式的角度，难以解释“也成立”的含义，而用集合的语言，则问题就变得清晰起来．[解]设集合A＝{x|0≤x＋1≤2}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x－a－10}＝{x|xa＋1}，由题意有AB.由图可知a＋1－1，即a－2.故所求实数a的取值范围是a－2.4．补集思想对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想．补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．集合中的补集运算常与方程、不等式等联系起来，特别是否定性的条件，如aA，可转化为a∈RA，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论．【例9】已知集合A＝{x|x2＋2ax－a0}，且－1A，求实数a的取值范围．[思路探究]由集合A与RA的互补关系可知，若－1A，则－1∈RA，即－1满足集合RA中的不等式x2＋2ax－a≥0，由此可得到关于实数a的不等式．[解]∵A＝{x|x2＋2ax－a0}，∴RA＝{x|x2＋2ax－a≥0}．又∵－1A，∴－1∈RA，即－1∈{x|x2＋2ax－a≥0}．将x＝－1代入x2＋2ax－a≥0，得1－2a－a≥0，即a≤13.∴实数a的取值范围是a≤13.Thankyouforwatching!