2019新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 课时作业56 和(差)角

课时作业56和(差)角公式、倍角公式的综合应用课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一化简与求值问题1.化简tan14°1－tan214°·cos28°的结果为()A.sin28°2B．sin28°C．2sin28°D．sin14°cos28°答案A答案知识对点练课时综合练解析tan14°1－tan214°·cos28°＝12×2tan14°1－tan214°·cos28°＝12tan28°·cos28°＝sin28°2，故选A.解析知识对点练课时综合练2．若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()A.15B.14C.13D.12解析解法一：∵tanθ＋1tanθ＝1＋tan2θtanθ＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝2tanθ4tanθ＝12.解析答案D答案知识对点练课时综合练解法二：∵tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2sin2θ，∴4＝2sin2θ，∴sin2θ＝12.解析知识对点练课时综合练3．若cosπ4－x＝－45，5π4x7π4，求sin2x－2sin2x1＋tanx的值．解sin2x－2sin2x1＋tanx＝2sinxcosx－sinxcosxcosx＋sinx＝sin2xcosx－sinxcosx＋sinx＝sin2x·1－tanx1＋tanx＝sin2xtanπ4－x＝cosπ2－2xtanπ4－x＝2cos2π4－x－1tanπ4－x，∵5π4x7π4，答案知识对点练课时综合练∴－3π2π4－x－π.又∵cosπ4－x＝－45，∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34.∴原式＝2×1625－1×－34＝－21100.答案知识对点练课时综合练4．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°；(2)sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°.解(1)原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6°＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116.答案知识对点练课时综合练(2)∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°，∴sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.答案知识对点练课时综合练知识点二证明问题5.求证：3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.证明∵左边＝3－4cos2A＋2cos22A－13＋4cos2A＋2cos22A－1＝1－cos2A1＋cos2A2＝2sin2A2cos2A2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，∴3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.答案知识对点练课时综合练6．求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.证明证法一：左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2答案知识对点练课时综合练＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．答案知识对点练课时综合练证法二：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．∴原式成立.答案知识对点练课时综合练知识点三公式的综合应用7.函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间π4，π2上的最大值是()A．1B.1＋32C.32D．1＋3答案C答案知识对点练课时综合练解析f(x)＝1－cos2x2＋32sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，∵π4≤x≤π2，∴π3≤2x－π6≤5π6.∴f(x)max＝1＋12＝32.解析知识对点练课时综合练8．已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．解析f(x)＝(sinx－cosx)sinx＝sin2x－sinxcosx＝1－cos2x2－12sin2x＝12－12(cos2x＋sin2x)＝12－22sin2x＋π4，∴函数的最小正周期T＝2π2＝π.解析答案π答案知识对点练课时综合练9．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin(2ωx＋π4).又f(x)的最小正周期为π，ω0，∴T＝2π2ω＝π，∴ω＝1.答案知识对点练课时综合练(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋π4，函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z)．答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．设f(tanx)＝tan2x，则f(2)＝()A．4B.45C．－23D.－43解析∵f(tanx)＝tan2x＝2tanx1－tan2x，∴f(2)＝2×21－22＝－43.解析答案D答案知识对点练课时综合练2．若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3答案D答案知识对点练课时综合练解析∵sin2α＋cos2α＝14，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝14.∴cosα＝±12.又∵α∈0，π2，∴cosα＝12，sinα＝32，∴tanα＝3.解析知识对点练课时综合练3．若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625解析原式＝cos2α＋4sinαcosα＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.解析答案A答案知识对点练课时综合练4．若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.34解析因为θ∈π4，π2，所以2θ∈π2，π，所以cos2θ0，所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－18，所以sin2θ＝916，所以sinθ＝34.解析答案D答案知识对点练课时综合练5．已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43答案C答案知识对点练课时综合练解析把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝52，即3cos2α＋4sinαcosα＝32，所以3cos2α＋4sinαcosαcos2α＋sin2α＝32，所以3＋4tanα1＋tan2α＝32，即3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－13，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.解析知识对点练课时综合练二、填空题6．若1cosα－1sinα＝1，则sin2α＝________.解析由1cosα－1sinα＝1，得sinα－cosαsinαcosα＝1，即sinα－cosα＝sinαcosα＝12sin2α，两边平方得14sin22α＝1－sin2α，解得sin2α＝－2＋22或－2－22(舍去)．解析答案22－2答案知识对点练课时综合练7．已知cosπ4－x＝a，且0xπ4，则cos2xcosπ4＋x的值用a表示为________．答案2a答案知识对点练课时综合练解析cos2xcosπ4＋x＝cos2x－sin2x22cosx－sinx＝2(sinx＋cosx)＝2×22sinx＋22cosx＝2cosπ4cosx＋sinπ4sinx＝2cosπ4－x＝2a.解析知识对点练课时综合练8．计算：3tanπ81－tan2π8＝________.解析原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan2×π8＝32tanπ4＝32.解析答案32答案知识对点练课时综合练三、解答题9．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝65－3－1＋tan5π121－tan5π12.证明因为tanα＝2，所以左边＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋tanαtan2α＋1＝4＋24＋1＝65，答案知识对点练课时综合练右边＝65－3－1＋tan5π121－tan5π12＝65－3－tanπ4＋tan5π121－tanπ4tan5π12＝65－3－tanπ4＋5π12＝65－3－tan2π3＝65，所以左边＝右边，所以原等式成立．答案知识对点练课时综合练10．已知函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x－cos2x＋23sinxcosx.(1)化简f(x)；(2)若f(α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α.解(1)f(x)＝12cos2x－32sin2x－cos2x＋3sin2x＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.答案知识对点练课时综合练(2)f(α)＝sin2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2kπ2απ2＋2kπ(k∈Z)，∴2kπ－π62α－π6π3＋2kπ，k∈Z，∴cos2α－π6＝437，∴sin2α＝sin2α－π6＋π6＝sin2α－π6·cosπ6＋cos2α－π6·sinπ6＝17×32＋437×12＝5314.答案