2019新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 课时作业41 函数模型

课时作业41函数模型的应用课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一指数函数、对数函数模型1.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相等D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案A答案知识对点练课时综合练解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝mm＋8a，因为y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．解析知识对点练课时综合练2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝12log3θ100，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．知识对点练课时综合练解(1)由v＝12log3θ100可知，当θ＝900时，v＝12log3900100＝12log39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即12log3θ2100－12log3θ1100＝1，得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.答案知识对点练课时综合练知识点二已知函数模型的应用问题3.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是()答案D答案知识对点练课时综合练解析20至30分钟时距离没有变化．故选D.解析知识对点练课时综合练4．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．10B．9C．8D．7答案C答案知识对点练课时综合练解析设经过n次过滤，产品达到市场要求，则2100×23n≤11000，即23n≤120，由nlg23≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，所以选C.解析知识对点练课时综合练知识点三建立拟合函数模型解决实际问题5.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．y＝log2xB．y＝2xC．y＝x2D．y＝2x答案B答案知识对点练课时综合练解析把x＝1,2,3,4代入，只有y＝2x的值最接近表格中的对应值．解析知识对点练课时综合练6．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．知识对点练课时综合练年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公倾)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.8知识对点练课时综合练(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，如图甲所示：答案知识对点练课时综合练(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b，用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷.答案知识对点练课时综合练易错点函数模型选择不当致误7.某城市出租车起步价为10元，最远可租乘3km(含3km)，以后每1km增加1.6元(不足1km按1km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为()易错分析本题中，当乘坐里程x3时，极易选择一次函数模型导致错选了D.知识对点练课时综合练答案C正解出租车起步价为10元(最远3km的行程)，即在(0,3]内对应y值为10，以后每1km增加1.6元，故选C.答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝mlog2(x＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只解析由已知第一年有200只，得m＝200.将m＝200，x＝7代入y＝mlog2(x＋1)，得y＝600.解析答案D答案知识对点练课时综合练2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝(0.9576)x100B．y＝(0.9576)100xC．y＝0.9576100xD．y＝1－(0.0424)x100答案A答案知识对点练课时综合练解析设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100,1－t%＝(0.9576)x100，∴y＝(1－t%)x＝(0.9576)x100.解析知识对点练课时综合练3．某人2013年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2018年1月1日可取款()A．a(1＋x)5元B．a(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元D．a(1＋x5)元解析2013年1月1日到银行存入a元，到2014年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2015年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元，因此，到2018年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.解析答案A答案知识对点练课时综合练4．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为()A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4答案A答案知识对点练课时综合练解析第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.解析知识对点练课时综合练5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为()A．125B．100C．75D．50答案C答案知识对点练课时综合练解析依题意，49a＝a·e－50k，∴e－k＝49150.设经过t1天后，则827a＝a·e－kt1，∴827＝(e－k)t1＝49150t1，∴150t1＝32，即t1＝75.解析知识对点练课时综合练二、填空题6．已知元素“碳14”每经过5730年其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到个位，lg2≈0.3010，lg4.1≈0.613)解析设距现在为x年，则有12x5730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7367.解析答案7367答案知识对点练课时综合练7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e12k，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.解析答案2ln21024答案知识对点练课时综合练8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2q10(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________．解析由题意，燕子静止时v＝0，即5log2q10＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log28010＝15(m/s)．解析答案1015m/s答案知识对点练课时综合练三、解答题9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·12th，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多少时间？知识对点练课时综合练解由题意知40－24＝(88－24)·1220h，即14＝1220h，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·12t10.当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·12t10，即12t10＝1164.两边取对数，用计算器求得t≈25.因此，约需要25min，可降温到35℃.答案知识对点练课时综合练10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少需保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？知识对点练课时综合练解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即12m10＝1212，m10＝12，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．答案知识对点练课时综合练(3)设从今年开始，以后砍了n年．则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，12n10≥1232，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．答案