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课时作业25函数奇偶性的应用课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一含参数函数的奇偶性1.已知y＝f(x)是奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．解析f(－3)＝－f(3)＝－6，即(－3)2－3a＝－6，3a＝15，所以a＝5.解析答案5答案知识对点练课时综合练2．若函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－x＋1－x＋a－x＝－x＋1x＋ax，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.解析答案－1答案知识对点练课时综合练知识点二函数奇偶性与单调性的关系3.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是()A．f(5)f(－5)B．f(4)f(3)C．f(－2)f(2)D．f(－8)＝f(8)答案C答案知识对点练课时综合练解析∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－22，∴f(－2)f(2)，故选C.解析知识对点练课时综合练4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)答案知识对点练课时综合练解析∵f(2)＝0，f(x－1)＞0，∴f(x－1)＞f(2)．又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(|x－1|)＞f(2)，∴|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3，∴x∈(－1,3)．解析知识对点练课时综合练知识点三求函数解析式5.已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋3x)，求当x0时，f(x)的解析式．解当x0时，－x0，f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)．∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－3x)．答案知识对点练课时综合练6．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．解当x0，－x0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴所求函数的解析式为f(x)＝2x－1，x＞0，0，x＝0，2x＋1，x＜0.答案知识对点练课时综合练易错点分段函数的奇偶性判断错误7.f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0，判断f(x)的奇偶性．易错分析忽视对定义域的讨论，对分段函数的奇偶性判断方法使用不当致误．正解当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．综上所述，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是()A．f(x)－f(－x)＞0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0D．f(x)·f(－x)＞0解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.解析答案C答案知识对点练课时综合练2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)0的x的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)答案D答案知识对点练课时综合练解析由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝0，符合条件的f(x)的大致图象如下图：由图象知当－2x2时，f(x)0.解析知识对点练课时综合练3．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝－1xD．y＝x|x|解析A中函数不具有奇偶性；B中函数在定义域内为减函数；C中函数在定义域内不具有单调性．故选D.解析答案D答案知识对点练课时综合练4．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是()A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)C．f(3)＞f(－2)＞f(－π)D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)答案A答案知识对点练课时综合练解析∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2＜3＜π，∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(－π)＞f(3)＞f(－2)．解析知识对点练课时综合练5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－1)＜f(3)＜f(4)B．f(4)＜f(3)＜f(－1)C．f(3)＜f(4)＜f(－1)D．f(－1)＜f(4)＜f(3)解析因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(－4)＝－f(0)，又f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，故f(－4)＝－f(0)＝0，所以f(4)＝－f(－4)＝0.解析答案D答案知识对点练课时综合练由f(x)＝－f(－x)及f(x－4)＝－f(x)，得f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．解析知识对点练课时综合练二、填空题6．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为________．答案[－6，－3)∪(0,3)答案知识对点练课时综合练解析由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)＜0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．解析知识对点练课时综合练7．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)0的解集为________．答案{x|x－3或x3}答案知识对点练课时综合练解析由题意可画出函数f(x)的草图．当x0时，f(x)0，所以x3；当x0时，f(x)0，所以x－3.综上x3或x－3.解析知识对点练课时综合练8．已知函数f(x)＝px2＋2q－3x是奇函数，且f(2)＝－53，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.答案－2x2＋23x答案知识对点练课时综合练解析f(x)的定义域为－∞，q3∪q3，＋∞，若f(x)是奇函数，则q3＝0，得q＝0.故f(x)＝px2＋2－3x，又f(2)＝－53，得p×4＋2－6＝－53，得p＝2，因此f(x)＝2x2＋2－3x＝－2x2＋23x.解析知识对点练课时综合练三、解答题9．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．证明设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个值，且x1＜x2，则－x1＞－x2＞0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)＜f(－x2)．又f(x)是奇函数，∴－f(x1)＜－f(x2)，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．答案知识对点练课时综合练10．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)0，求实数a的取值范围．解由f(1－a2)＋f(1－a)0，得f(1－a2)－f(1－a)．∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)f(a－1)．又f(x)在[－1,1]上单调递减，答案知识对点练课时综合练∴－1≤1－a2≤1，－1≤1－a≤1，－1≤a－1≤1，1－a2a－1，解得0≤a2≤2，0≤a≤2，－2a1.∴0≤a1.∴a的取值范围是[0,1)．答案