2019新教材高中数学 第三章 函数概念和性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1 课时作业21 函

课时作业21函数的单调性(1)课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一函数单调性的概念1.设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定解析由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.解析答案D答案知识对点练课时综合练2．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有fx1－fx2x1－x2＞0，则()A．f(x)在这个区间上为增函数B．f(x)在这个区间上为减函数C．f(x)在这个区间上的增减性不确定D．f(x)在这个区间上为常函数答案A答案知识对点练课时综合练解析①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在区间I上是增函数．②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在区间I上是增函数．综合①②可知，f(x)在区间I上是增函数．故选A.解析知识对点练课时综合练知识点二函数单调性的判断3.函数f(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数答案A答案知识对点练课时综合练解析由图象知，f(x)在[－1,2]上是增函数，在(2,4]上是减函数，故选A.解析知识对点练课时综合练知识点三函数单调性的证明4.(1)证明：函数f(x)＝x2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数；(2)证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．证明(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21－1x1－x22＋1x2＝(x1－x2)x1＋x2＋1x1x2.答案知识对点练课时综合练∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋1x1x2＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)＝x2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．答案知识对点练课时综合练(2)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则x2－x1＞0，而f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1)＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋(x2－x1)＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1)＝(x2－x1)x2＋x122＋34x21＋1.因为x2＋x122＋34x21＋1＞0，x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．因此函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数.答案知识对点练课时综合练知识点四判断复合函数的单调性5.已知函数f(x)＝8＋2x－x2，g(x)＝f(2－x2)，试求g(x)的单调区间．解令u(x)＝2－x2，则u(x)在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，且u(0)＝2.f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．令－x2＋2＝1，则x＝±1.答案知识对点练课时综合练∴当x∈(－∞，－1]时，u(x)为增函数，值域为(－∞，1]，且f(x)在(－∞，1]上也为增函数．∴g(x)在(－∞，－1]上为增函数．同理，g(x)在[－1,0]上为减函数，在[0,1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．所以函数g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞).答案知识对点练课时综合练易错点忽视单调区间的端点值而致误6.函数y＝xx＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．易错分析分离常数后解析式为y＝1－ax＋a，根据单调性得出函数的单调增区间为(－∞，－a)，(－a，＋∞)，由于忽视了端点值而得出a2的错误结论．知识对点练课时综合练答案a≥2正解y＝xx＋a＝1－ax＋a依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a)，(－a，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a，即a≥2.答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，fx1－fx2x1－x2＜0，则y＝f(x)在I上是减函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个答案B答案知识对点练课时综合练解析①若任意x1，x2∈I，当x1x2时，fx1－fx2x1－x2＜0，则y＝f(x)在I上是减函数，这是减函数的定义，故①正确；②函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y＝－1x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是增函数，但在整个定义域内不是增函数，故③错误；④y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成并集的形式，故④错误．故选B.解析知识对点练课时综合练2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝5－xB．y＝x2＋2C．y＝1xD．y＝－|x|解析A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．解析答案B答案知识对点练课时综合练3．当y＝x2＋bx＋c(x∈(－∞，1))是单调函数时，b的取值范围是()A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2]C．(－2，＋∞)D．(－∞，－2)解析由y＝x2＋bx＋c可知，二次函数的对称轴为x＝－b2，要使函数y＝x2＋bx＋c在(－∞，1)上是单调函数，则－b2≥1，所以b≤－2.故选B.解析答案B答案知识对点练课时综合练4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,1)C．(0,1)D．(0,1]解析由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，得a≤1.由函数g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，得a0，故a的取值范围为(0,1]．解析答案D答案知识对点练课时综合练5．已知f(x)＝3a－1x＋4a，x＜1，－x＋1，x≥1是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是()A.－∞，13B.17，＋∞C.17，13D.－∞，－17∪13，＋∞答案C答案知识对点练课时综合练解析要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；③g(1)≥h(1)．所以3a－1＜0，3a－1×1＋4a≥－1＋1，所以17≤a＜13.解析知识对点练课时综合练二、填空题6．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________．解析当x∈R时，f(x)＝|x＋a|＝x＋a，x≥－a，－x－a，x－a，∴f(x)的递减区间为(－∞，－a]．由题意，(－∞，1]⊆(－∞，－a]，∴－a≥1，即a≤－1.解析答案a≤－1答案知识对点练课时综合练7．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调________函数．解析y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a0，b0，y＝ax2＋bx＝ax＋b2a2－b24a，对称轴x＝－b2a0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调减函数．解析答案减答案知识对点练课时综合练8．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.解析作出函数f(x)＝|2x＋a|的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为－a2，＋∞，即－a2＝3，a＝－6.解析答案－6答案知识对点练课时综合练三、解答题9．已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)0(x0)，试判断F(x)＝1fx在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．解F(x)＝1fx在(0，＋∞)上为减函数．证明如下：任取x1，x2，使0x1x2，则F(x2)－F(x1)＝1fx2－1fx1＝fx1－fx2fx1fx2.答案知识对点练课时综合练∵x0时，f(x)0，∴f(x1)·f(x2)0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x2)f(x1)，即f(x1)－f(x2)0.∴F(x2)－F(x1)0，即F(x2)F(x1)．∴函数F(x)＝1fx在(0，＋∞)上为减函数．答案知识对点练课时综合练10．若函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x≤1，ax＋1，x＞1是减函数，求实数a的取值范围．解由题意可得－a≥1，a＜0，12＋2a×1＋3≥a×1＋1，解得－3≤a≤－1，则实数a的取值范围是[－3，－1]．答案