2019新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 课时作业12 基本不

课时作业12基本不等式课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一利用基本不等式比较大小1.下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析若a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错误；由基本不等式可知D正确．解析答案D答案知识对点练课时综合练2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b解析解法一：∵0＜a＜b，∴a＜a＋b2＜b，排除A，C.又ab－a＝a(b－a)＞0，即ab＞a，排除D，故选B.解法二：取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5，所以a＜ab＜a＋b2＜b.故选B.解析答案B答案知识对点练课时综合练知识点二利用基本不等式证明不等式3.(1)已知a，b，c均为正实数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c；(2)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.证明(1)∵a，b，c均为正实数，∴a2b，b2c，c2a均大于0，又a2b＋b≥2a2b·b＝2a，b2c＋c≥2b2c·c＝2b，c2a＋a≥2c2a·a＝2c，答案知识对点练课时综合练三式相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0.∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立．∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.答案知识对点练课时综合练4．已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．证明∵a＋b2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a＋b2＝22(a＋b)(a，b∈R，等号在a＝b≥0时成立)．同理，b2＋c2≥22(b＋c)(等号在b＝c≥0时成立)．a2＋c2≥22(a＋c)(等号在a＝c≥0时成立)．答案知识对点练课时综合练三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥22(a＋b)＋22(b＋c)＋22(a＋c)＝2(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c≥0时成立)．答案知识对点练课时综合练易错点一忽视基本不等式适用条件5.给出下列结论：①若a＞0，则a2＋1＞a；②若a＞0，b＞0，则1a＋ab＋1b≥4；③若a＞0，b＞0，则(a＋b)1a＋1b≥4；④若a∈R且a≠0，则9a＋a≥6.其中恒成立的是________．易错分析易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为④也正确．知识对点练课时综合练正解因为a0，所以a2＋1≥2a2＝2aa，故①恒成立．因为a＞0，所以a＋1a≥2，因为b＞0，所以b＋1b≥2，所以当a＞0，b＞0时，a＋1ab＋1b≥4，故②恒成立．因为a0，b0，所以ba＋ab≥2，因为(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab，所以(a＋b)1a＋1b≥4，故③恒成立．因为a∈R且a≠0，9a＋a≥6不符合基本不等式的条件，故④错误．答案知识对点练课时综合练易错点二忽视定值的条件6.求函数y＝2x(5－3x)0x53的最大值．易错分析∵0x53，∴2x＞0,5－3x＞0，∴y＝2x(5－3x)＝2[x5－3x]2≤2x＋5－3x22＝5－2x22.当且仅当x＝5－3x，即x＝54时，等号成立，此时5－2x22＝258.故y的最大值为258.以上解法不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．知识对点练课时综合练正解∵0x53，∴2x＞0,5－3x＞0，y＝2x(5－3x)＝23[3x·5－3x]2≤233x＋5－3x22＝256.当且仅当3x＝5－3x，即x＝56时，等号成立，故所求函数的最大值为256.答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b答案D答案知识对点练课时综合练解析∵0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b.∴a＋b＞2ab，a2＋b2＞2ab.∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大，故选D.解析知识对点练课时综合练2．下列不等式一定成立的是()A．x＋1x≥2(x≠0)B．x2＋1x2＋1≥1(x∈R)C．x2＋1≤2x(x∈R)D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)答案B答案知识对点练课时综合练解析对于A，当x＞0时才成立；对于B，∵x2＋1＋1x2＋1≥2，∴x2＋1x2＋1≥1，当且仅当x＝0时等号成立；对于C，应为x2＋1≥2x(x∈R)；对于D，x2＋5x＋6＝x＋522－14≥－14；综上所述，应选B.解析知识对点练课时综合练3．若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是()A．a－b＞1b－1aB.c2a＜c2bC.ab2aba＋bD.3a＋ba＋3b＞ab答案C答案知识对点练课时综合练解析逐一考查所给的选项：当a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不满足a－b＞1b－1a，A错误；当c＝0时，c2a＝c2b＝0，不满足c2a＜c2b，B错误；当a＝2，b＝1时，3a＋ba＋3b＝75，ab＝2，不满足3a＋ba＋3b＞ab，D错误；若a＞b＞0，则a＋b2ab，即a＋b2abab，整理可得ab2aba＋b，C正确．故选C.解析知识对点练课时综合练4．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.解析答案C答案知识对点练课时综合练5．设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③ab＋ba＞2.上述三个式子恒成立的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；ab＋ba＞2或ab＋ba＜－2.故选B.解析答案B答案知识对点练课时综合练二、填空题6．已知a＞b＞c，则a－bb－c与a－c2的大小关系是________．解析∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴a－c2＝a－b＋b－c2≥a－bb－c，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．解析答案a－bb－c≤a－c2答案知识对点练课时综合练7．设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．解析(a＋1＋b＋3)2＝a＋b＋4＋2a＋1·b＋3≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝72，b＝32时等号成立，所以a＋1＋b＋3≤32.解析答案32答案知识对点练课时综合练8．设a，b为非零实数，给出不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab＋ba≥2.其中恒成立的不等式是________．(填写序号)答案①②答案知识对点练课时综合练解析由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；a2＋b22＝2a2＋b24＝a2＋b2＋a2＋b24≥a2＋b2＋2ab4＝a＋b24＝a＋b22，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式③的左边为a＋b2＝－1，右边为aba＋b＝－12，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，显然④不正确．解析知识对点练课时综合练三、解答题9．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋acb≥2abc2ab＝2c，acb＋abc≥2a2bcbc＝2a，bca＋abc≥2acb2ac＝2b.答案知识对点练课时综合练又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.答案知识对点练课时综合练10．(1)已知m，n0，且m＋n＝16，求12mn的最大值；(2)已知x3，求y＝x＋4x－3的最小值．解(1)∵m，n0且m＋n＝16，∴由基本不等式可得mn≤m＋n22＝1622＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.∴12mn的最大值为32.答案知识对点练课时综合练(2)∵x3，∴x－30，4x－30，于是y＝x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2x－3·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，y取到最小值7.答案