基于核心素养的物理模型构建

龙源期刊网基于核心素养的物理模型构建作者：李旭斌陈晓陆来源：《中学物理·高中》2019年第09期摘要：通过构建物理模型解决实际问题是近些年高考考查的重要方向.基于核心素养的物理模型构建是对原型摒弃各种次要因素的影响，进行简化和理想化处理，突出决定事物状态、影响事物发展变化的本质联系.下雨是生活中的常见现象，通过模型构建解释大雨滴下落得比小雨滴快的原因，推导出雨滴收尾速度与等效半径的关系，以及雨滴下落过程中受到的空气阻力与下落速度的平方成正比.同时给出了将雨滴抽象为球形、圆盘模型的依据，并通过详细分析模型给出了雨滴收尾速度与等效半径的关系.关键词：模型构建;核心素养;雨滴下落;收尾速度;空气阻力文章编号：1008-4134（2019）17-0063中图分类号：G633.7文献标识码：B（2019年北京高考理综24题）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关.雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g.（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力做的功W.（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数.a.设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式;b.示意图中画出了半径为r1、r2（r1r2）的雨滴在空气中无初速度下落的v-t图线，其中对应半径为r1的雨滴（选填①、②）;若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速度下落的v-t图线.龙源期刊网（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零.将雨滴简化为垂直于运动方向面积仅为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）.雨滴在下落的过程中，重力对其做正功、空气阻力对其做负功，假设雨滴克服空气阻力做功的大小为W，根据动能定理，雨滴所受合外力的功等于雨滴动能的变化量，由此得到W合=mgh-W=12mu2（1）最后解得W=mgh-12mu2（2）对雨滴进行受力分析，雨滴在下落的过程中受到重力G、空气阻力f的作用，根据牛顿运动定律得到G-f=mg-kr2v2=ma（3）初始时刻雨滴处于静止状态，此时雨滴仅受重力G的作用，雨滴开始加速下落，随着下落速度v的增大，根据（3）式，雨滴的加速度越来越小，雨滴做加速度减小的加速运动，当雨滴加速度减小到零时，雨滴的下落速度增大到最大，为vm（从图1的v-t图象上也可以反映出这种变加速运动的特点），此时有mg-kr2v2m=0（4）由此解得vm=1rmgk（5）半径为r的雨滴的质量m可以表示为m=ρV=43ρπr3（6）将（6）式代入（5）式中可以得到vm=4ρgπr3k（7）根据（7）式，雨滴下落的最大速度，即收尾速度vm与r成正比，雨滴的半径越大、雨滴收尾速度越大.由于r1r2，vm1vm2，因此图1中的曲线①对应半径为r1的雨滴.若不计空气阻力，雨滴仅受重力的作用，重力是恒力，雨滴将做自由落体运动，运动图象如图2所示.龙源期刊网以圆盘为参考系，空气分子相对圆盘向上运动的速度为v，并与圆盘发生碰撞.假设气体分子与圆盘发生弹性碰撞，取向下为正方向.在Δt时间内，气体分子质量Δm=m0n（SvΔt），以Δm为研究对象，Δm以v撞击圆盘，再以v被弹回，Δm对圆盘的撞击力即圆盘受到的阻力-f，其反作用力是圆盘对Δm的撞击力f，根据动量定理有fΔt=Δmv-Δm（-v）（8）龙源期刊网=2m0nSv2（9）根据（9）式的结果，得到圆盘受到的空气阻力正比于下落速度的平方：f∝v2.2019北京理综卷24题以“雨滴下落”这一生活场景为素材设计问题，很好地体现了物理与生活的紧密联系、考察了对雨滴的生活体验.同时，考察了模型建构、科学推理论证、宏观微观相结合的思想方法.该题先将雨滴抽象为球形，求其下落收尾速度;再将雨滴抽象为圆盘模型，证明其下落过程中阻力与速度平方成正比，将宏观的空气阻力与微观角度的空气分子与圆盘碰撞相结合，综合考察了学生的推理能力、获取信息能力、基于证据得出结论的能力.思考1根据（7）式的结果，大雨滴的收尾速度大，大雨滴比小雨滴下落得快，但并不能说明亚里士多德“重物下落比轻物快”的结论是正确的，为什么？试进行分析论证.分析雨滴在下落的过程中受到了空气阻力的作用，即雨滴的下落不是自由落体运动，如果雨滴下落过程中不受空气阻力，下落速度v=2gh，假設雨滴在500m高空中形成后由静止下落，落地速度将达到约100m/s，而雨滴落地速度往往只有几米每秒，这说明空气阻力在雨滴下落的过程中是不可忽略的，并且空气阻力对雨滴下落过程产生了很大影响，雨滴受到的空气阻力随着雨滴下落的速度的增大而增大，使得雨滴落地速度得以减小，因此在生活中才不会出现雨滴砸伤人的情况.根据牛顿运动定律推导，雨滴收尾速度vm∝r，由此大雨滴比小雨滴下落更快.如果将雨滴换成实心球，是否大球比小球下落更快呢？伽利略为反驳亚里士多德的观点，曾设计过一个思想实验，按照伽利略的思路：将大球和小球用细绳拴在一起，大球和小球构成的整体称为“超大球”，将“超大球”从空中释放，如果亚里士多德的“重物下落比轻物快”的观点是正确的，那么超大球最重，超大球下落的速度必然大于大球的下落速度、大球的下落速度大于小球下落速度，有v超大v大v小.然而，由于小球下落得比大球慢，這样会使得大球在下落过程中受到阻碍，由此超大球下落的速度应该介于大球和小球之间，即v大v超大v小.通过这一对相互矛盾的结论，显然亚里士多德的结论是不正确的.思考2高考真题中第二问将雨滴抽象成了球体模型，在第三问中又将雨滴抽象成了圆盘模型，雨滴视为球体或圆盘的依据是什么？本世纪初，F.Y.Testik和A.P.Barros通过高速成像技术，对下落雨滴的外形进行的观察和测量，并且证实雨滴在下落的过程中会发生周期性的摆动.如果将一定体积的雨滴的外形抽象为球形，那么球体的直径D称为雨滴的“等效直径”，等效直径的大小决定了雨滴的大小，不同等效直径的雨滴在下落过程中的高速成像图片如图3所示.不难发现，在等效直径较小的条件下，下落的雨滴的外形接近球形（D=1.0mm时下落雨滴外形是球形）;在等效直径较大的条件下，下落雨滴的外形象一个“汉堡状”的外形，并且底龙源期刊网部较为平整，上部弯曲.真题中的“圆盘状”模型，指的就是当雨滴等效直径较大时，雨滴“汉堡状”外形的底部较为平整、等价于一个圆盘面.当雨滴的等效直径进一步变大时，就会在底部出现凹陷，从而使较大的雨滴破裂成许多小雨滴.思考3如何通过详细的模型分析，推导出雨滴的终极收尾速度vm？已知雨滴的等效半径为r，雨水的密度为ρ1，空气的密度为ρ2，雨滴在流体中运动受到的斯托克斯力是f=-6πηrv，其中η是粘滞系数.解析雨滴在下落过程中受到了重力G、斯托克斯力f、空气浮力F的作用，根据牛顿运动定律有G-F+f=ma（1）代入G=mg，F=ρ2gV=43πρ2gr3，f=-6πηrv得到mg-43πρ2gr3-6πηrv=mdvdt（2）当t→∞时，雨滴达到收尾速度vm，有∫vm0mdvmg-43πρ2gr3-6πηrv=∫∞0dt（3）最后得到vm=2gr29η1-ρ1ρ2（4）建立模型解决问题是物理学中十分重要的研究方法，是对原型（研究对象和科学过程等）摒弃各种次要因素的影响，进行简化和理想化处理，突出决定事物状态、影响事物发展变化的本质联系.物理模型可以分为实物模型、过程模型……其中，常见的实物模型有质点、刚体、理想气体、磁感线、电场线等，常见的过程模型有匀速直线运动、匀变速直线运动、自由落体运动，完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞等.下雨是生活中的常见现象，为了研究雨滴在下落过程中经历怎样的运动过程，我们需要借助实物模型和过程模型，把握主要因素、忽略次要因素，进而简化问题的分析，分析雨滴下落过程中所满足的规律.构建物理模型解决实际问题是近些年物理高考的热点方向.模型是为了某种特定的目的而对认识对象所作的一种简化的表征，并利用这种表征来揭示原型的特征、状态、本质规律，模型能够撇开那些次要因素、关系和过程，将主要因素、关系和过程突出地显示出来，便于人们观察、实验和理论分析.在构建物理模型解决问题过程中，注意抓住主要因素、忽略次要因龙源期刊网素，进行实物模型（质点模型、理想气体模型）和过程模型（匀速直线运动、匀变速直线运动、完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞）的构建.