2019秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与

*2.5一元二次方程的根与系数的关系第二章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac0时,方程无实数根.讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一算一算解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根关系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-412312-1x1+x2=-3x1·x2=-4x1+x2=5x1·x2=6231022xx1232xx1212xxg猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？12bxxa12cxxag22124422bbacbbacxxaa22442bbacbbaca22ba.ba证一证：22124422bbacbbacxxaa22244bbaca244aca.ca一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么12bx+x=a12cxxag注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.归纳总结一元二次方程的根与系数的关系的应用二例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;解：这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=250.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.（2）2x2-3x-2=0.解：这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=250,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.23例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=－7.答：方程的另一个根是，k=－7.,5k3.53()5356,5变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1·x2=1×5=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,3m例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22xxxx解：根据根与系数的关系可知：22212112212,xxxxxx∵2221212122xxxxxx231132;224121212113123.22xxxxxx设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=,(2)x1·x2=,(3),(4).411412221)(xx2221xx练一练例4：设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0即-8k+4≥0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.21k总结常见的求值:12111.xx1212;xxxx124.(1)(1)xx1212()1;xxxx12213.xxxx221212xxxx2121212()2;xxxxxx125.xx212()xx21212()4.xxxx2221212122.()2;xxxxxx求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳当堂练习1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=,q=.1-232-33.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x1,则：1×x1=∴x1=16.3ca16.34.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；12,xxk121.2kxx1()14,2kk（2）因为k=-7,所以则：124.xx127,xx222121212()()474(4)65.xxxxxx5.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2).2112xxxx解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）12124,1.3bcxxxxaa44(-1)1;33.)(934221212212122212112xxxxxxxxxxxxxx6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得,221kxx,2121xx,121422k,322k.32k7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.解：(1)方程有实数根0884424242222mmmmmmmacb∴m的取值范围为m＞0(2)∵方程有实数根x1,x2.2,22121mmxxxx∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1.12422mm解得m=8.经检验m=8是原方程的解．课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么应用222121212()2xxxxxx22121212()()4xxxxxx12121211xxxxxx12bxxa12cxxag