2019秋高中数学 第一章 三角函数章末复习课课件 新人教A版必修4

第一章三角函数章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关注角的概念的推广(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．确定角所在象限的关注点由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sinα0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．3．关注正切函数的定义域(1)正切函数y＝tanx的定义域为x∈Rx≠kπ＋π2，k∈Z，不可写为{x|x≠k·360°＋90°，k∈Z}．(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件．4．平方关系应用的关注点由平方关系sin2α＋cos2α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．5．正确应用诱导公式(1)明确诱导公式的基本功能：将k·π2±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化．6．关注三角函数的定义域、值域(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即xx≠kπ＋π2，k∈Z.7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性(1)要求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω0)的单调区间，先研究正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的相应单调区间，再把其中的“x”用“ωx＋φ”代替，解关于x的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A的正负．(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间．专题一三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．[例1](1)设角α属于第二象限，cosα2＝－cosα2，试判定α2角属于第几象限；(2)求函数y＝3tanx＋3的定义域．解：(1)依题意得2kπ＋π2α2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋π4α2kπ＋π2(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，α2为第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，α2为第三象限角．又cosα2＝－cosα2≥0，所以cosα2≤0.所以α2应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tanx＋3≥0，即tanx≥－33.所以kπ－π6≤xkπ＋π2，所以函数y＝3tanx＋3的定义域为xkπ－π6≤xkπ＋π2，k∈Z.归纳升华1．由α所在象限判断α2角所在象限时，一般有两种方法：第一种方法是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2所属的象限；第二种方法就是将k进行分类讨论．2．求函数的定义域时应注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．[变式训练](1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号；(2)已知角α的终边过点P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，求α的正切值．解：(1)因为θ为第四象限角，所以0cosθ1π2，－π2－1sinθ0，所以sin(cosθ)0，cos(sinθ)0，所以sin(cosθ)·cos(sinθ)0.(2)因为θ∈π2，π，所以cosθ0，所以r＝x2＋y2＝9cos2θ＋16cos2θ＝－5cosθ，故sinα＝yr＝－45，cosα＝xr＝35，tanα＝yx＝－43.专题二同角三角函数的基本关系与诱导公式已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，应注意以下几点：(1)注意角的范围，必要时按象限进行讨论；(2)尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用；(3)在利用诱导公式进行三角式的化简求值时，要注意正负号的选取．[例2]已知2＋tan（θ－π）1＋tan（2π－θ）＝－4，求(sinθ－3cosθ)·(cosθ－sinθ)的值．解：法一由已知2＋tanθ1－tanθ＝－4，所以2＋tanθ＝－4(1－tanθ)，解得tanθ＝2，所以(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝4tanθ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二由已知2＋tanθ1－tanθ＝－4，解得tanθ＝2，即sinθcosθ＝2，所以sinθ＝2cosθ，所以(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝(2cosθ－3cosθ)(cosθ－2cosθ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.归纳升华解答三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)利用“1”的代换，如：1＝sin2α＋cos2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tanπ4等；(3)若式子中有角kπ2，k∈Z，则先利用诱导公式进行化简．[变式训练]已知tanα＝2，求下列各式的值：(1)1sin2α－sinαcosα－cos2α；(2)2sin2α－32sinαcosα＋5cos2α.解：(1)原式＝sin2α＋cos2αsin2α－sinαcosα－cos2α＝tan2α＋1tan2α－tanα－1＝4＋14－2－1＝5.(2)原式＝2sin2α－32sinαcosα＋5cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－32tanα＋5tan2α＋1＝2×4－32×2＋54＋1＝2.专题三三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3]函数y＝Asin(wx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3解析：由图象知T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为π3，2，所以A＝2，且2×π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－π6.答案：A归纳升华1．求解析式的方法：A＝ymax－ymin2，k＝ymax＋ymin2，ω＝2πT，由“五点作图法”知，可令ωx＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ.2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．[变式训练]函数y＝sinx2的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是()A．(0，0)B．(π，0)C.π2，0D.－π2，0解析：函数y＝sinx2的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数y＝sin12（x＋π）＝sin12x＋π2＝cos12x的图象，它的一个对称中心是(π，0)．答案：B专题四三角函数的性质关于三角函数，应重点掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4]已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．解：(1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调减区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．(2)因为0≤x≤π2，所以π6≤2x＋π6≤7π6，所以－12≤sin2x＋π6≤1，所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1，(3)当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，所以2x＝π3＋2kπ，所以x＝π6＋kπ，k∈Z.所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝π6＋kπ，k∈Z.归纳升华1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的函数的单调区间求解策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的函数的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sinx的性质来求解．[变式训练]设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12解析：因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π，又因为当0≤xπ时，f(x)＝0，所以f5π6＝0，即f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6＝0，所以f－π6＝12，所以f23π6＝f4π－π6＝f－π6＝12.答案：A专题五转化与化归思想转化与化归思想贯穿本章的始终：在三角函数的恒等变形中，常利用同角关系式和诱导公式来化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)化归为简单的y＝sinx来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．[例5]求函数y＝12sinπ4－23x的单调区间．解：将原函数化为y＝－12sin23x－π4.由2kπ－π2≤23x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得3kπ－38π≤x≤3kπ＋98π(k∈Z)，此时函数单调递减．由2kπ＋π2≤23x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)，得3kπ＋98π≤x≤3kπ＋218π(k∈Z)，此时函数单调递增．故原函数的单调递减区间为3kπ－38π，3kπ＋98π(k∈Z)，单调递增区间为3kπ＋98π，3kπ＋218π(k∈Z)．归纳升华1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)，(ω0)的函数的单调区间时，先把此函数化为y＝－Asin(－ωx－φ)的形式后，再利用函数y＝sinx的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x的系数为正数．2．在求形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C的函数的值域或最值时，常令t＝sinx，将其转化为一元二次函数来求解．[变式训练]已知函数f(α)＝sinα－π2cos3π2＋αtan（2π－α）tan（α＋π）sin（α＋π）.(1)化简f(α)；(2)若f(α)·fα＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f(α)＋fα＋π2的值；解：(1)f(α)＝－cosα·sinα·（－tanα）tanα·（－sinα）＝－cosα.(2)由(1)知fα＋π2＝－cosα＋π2＝sinα，因为f(α)·fα＋π2＝－18，即co