2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象课件 新人教A版必修

第一章三角函数1．5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象[学习目标]1.会用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象(重点)．2.了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数φ，ω，A对函数图象变化的影响，理解函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx的图象之间的关系(重点、难点)．3.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象或部分图象确定其解析式(易错点、易混点)．[知识提炼·梳理]1．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．(2)ω(ω0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．(3)A(A0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．温馨提示A、ω决定“形变”，φ决定“位变”；ω影响周期；A、ω、φ影响单调性．2．正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程y＝sinx的图象――――――――――→向左（φ0）或向右（φ0）平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)的图象――――――――――→横坐标变为原来的纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)的图象――――――――――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)的图象．1ω3．简谐振动的有关概念若函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A0，ω0，表示简谐振动，则A是振幅，周期T＝2πω，频率f＝1T＝ω2π，ωx＋φ称为相位，φ称为初相．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的有关性质名称性质定义域R值域[－A，A]周期性T＝2πω对称性对称中心kπ－φω，0(k∈Z)对称轴x＝kπω＋π－2φ2ω(k∈Z)奇偶性当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时是偶函数[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位，得到函数y＝cosx的图象．()(2)把函数y＝sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin3x的图象．()(3)函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω≠0)的值域为－2，2.()(4)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．要得到函数y＝sinx－π3的图象，只要把函数y＝sinx的图象()A．向上平移π3个单位B．向下平移π3个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位解析：由题意，只要把函数y＝sinx的图象向右平移π3个单位即可．答案：D3．将函数y＝sin2x＋π8的图象沿x轴向左平移m(m＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为()A.7π16B.15π16C.7π8D.π16解析：y＝sin2x＋π8的图象向左平移m个单位长度后得到y＝sin2（x＋m）＋π8，因为y＝sin2（x＋m）＋π8为奇函数，所以sin2m＋π8＝0.所以2m＋π8＝kπ，k∈Z，即有m＝kπ2－π16，k∈Z，所以正数m的最小值为7π16.答案：A4.要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标________________．解析：要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12.答案：缩短为原来的125．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝sinx－π6的图象，则φ＝______．解析：因为φ∈[0，2π)，所以把y＝sinx的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin(x＋φ)的图象，而sinx＋11π6＝sinx＋11π6－2π＝sinx－π6，即φ＝11π6.答案：11π6类型1用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图[典例1]画出函数f(x)＝sin2x－3π4在区间[0，π]上的图象．解：列表如下：x0π83π85π87π8π2x－3π4－3π4－π20π2π5π4f(x)－22－1010－22描点，连线，故函数f(x)＝sin2x－3π4在区间[0，π]上的图象如图：归纳升华“五点法”画三角函数图象的实质就是找出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五个关键点，这五个点通常是在原点附近的一个周期内，由y的最小值、最大值和y＝0时求得，即由sin(ωx＋φ)＝－1，1，0时求得，因此x的取值是由ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π求得的．[变式训练]用“五点法”作出函数y＝32sin13x－π3的简图．解：函数y＝32sin13x－π3的周期T＝2π13＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象，列表如下：xπ5π24π11π27π13x－π30π2π3π22π32sin13x－π30320－320描点、连线作图如图，利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝32sin13x－π3的简图(图略)．类型2三角函数图象的变换[典例2](1)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3(2)把函数f(x)＝sin－3x＋π6的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移π3个单位长度，则所得图象的解析式为()A．y＝sin23π－32xB．y＝cos32x－π6C．y＝sin710π－32xD．y＝sinπ6－6x解析：(1)函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3.(2)y＝sin－3x＋π6――――→周期扩大为原来的2倍y＝sin(－32x＋π6)―――――→向右平移π3个单位长度y＝sin－32x＋2π3.答案：(1)D(2)A归纳升华1．三角函数图象平移变换问题的分类及解题方法：(1)确定函数y＝sinx的图象经过平移变换后得到的图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．2．作图象变换时，若“先伸缩，后平移”，容易误认为平移的单位长度仍然是|φ|，从而得出错误答案．错误的原因是没有理解图象变换的实质，注意平移变换和伸缩变换都只对自变量“x”发生变化，而不是对“角”(相位)．[变式训练]已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：y＝cosx＝sinx＋π2y＝sin2x＋π2y＝sin[2(x＋π12)＋π2]＝sin2x＋2π3.答案：D类型3由图象求三角函数的解析式[典例3]如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)φπ2的图象，确定其一个函数解析式．解：法一由图象知振幅A＝3.又T＝5π6－－π6＝π.所以ω＝2πT＝2.又过点－π6，0，则得3sin－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，所以y＝3sin2x＋π3.法二由图象知A＝3，且图象过点π3，0和5π6，0，根据五点作图法原理，有π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3，所以y＝3sin2x＋π3.法三由图象，知A＝3，T＝π，又图象过点－π6，0，所以所求图象由y＝3sin2x的图象向左平移π6个单位得到．所以y＝3sin2x＋π6，即y＝3sin2x＋π3.归纳升华在观察图象的基础上确定A，ω，φ的方法1．A：一般可由图象的最高点、最低点来确定|A|.2．ω：因为T＝2π|ω|，所以往往通过求T来确定ω.可由已知曲线与x轴的交点确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2，相邻两个最高点(或最低点)之间的距离为T.3．φ：寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口，要根据图象的升降情况找准第一个零点的位置．[变式训练]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则A，ω，φ的值分别是()A．2，2，－π6B．2，2，－π3C．2，4，－π6D．2，4，π3解析：由图象可知，34T＝5π12＋π3＝3π4，得T＝π.又T＝2πω，得ω＝2.由函数过5π12，2，故有2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝－π3＋2kπ(k∈Z)．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π3，根据图象最高点可得A＝2，故选B.答案：B类型4函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用(互动探究)[典例4]已知函数f(x)＝12sin2x＋π6＋54.(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．解：(1)函数f(x)的振幅为12，最小正周期T＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，所以f(x)的单调增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)令2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，令2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ2－π12(k∈Z)，所以对称中心为kπ2－π12，54(k∈Z)．(3)当sin2x＋π6＝－1，即2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为34，此时x的取值集合是{x|x＝－π3＋kπ，k∈Z}．[迁移探究](改变条件)在典例4中，若增加条件x∈－π6，π3，又如何求f(x)的最大值呢？并求当取得最大值时x的取值．解：x∈－π6，π3，则2x＋π6∈－π6，5π6，所以当2x＋π6＝π2时，sin2x＋π6＝1，f(x)的最大值为74，此时x的取值为x＝π6.1．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)图象变换的影响．(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．2．根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的部分图象确定A、ω、φ的方法．(1)A：一般可由图象的最高点、最低点来确定A.(2)ω：因为T＝2πω，所以ω＝2πT，可通过曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为T2来求，还可由相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T来求．(3)φ：确定φ的方法有