2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正、余弦函数的

第一章三角函数第2课时正、余弦函数的单调性与最值[学习目标]1.通过图象理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的单调性、最大值与最小值等，体会数形结合方法(重点)．2．会求正弦函数、余弦函数的单调区间、最大值与最小值(重点、难点)．[知识提炼·梳理]比较项正弦函数余弦函数解析式y＝sinxy＝cosx图象值域[－1，1][－1，1]单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增，在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减最值当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1温馨提示三角函数的图象和性质，分别从“形”和“数”这两个不同侧面反映了三角函数的变化规律，我们应结合三角函数的定义，掌握三角函数的定义域、值域、单调性、最值等性质．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝cos2x在π2，π上是减函数．()(2)在区间[0，2π]上，函数y＝cosx仅当x＝0时取得最大值1.()(3)函数y＝12sinx的最大值为1.()(4)若x＝x0时，y＝sinx取最大值，则x＝x0是函数y＝sinx的对称轴．()解析：(1)错误．y＝cos2x在π2，π上是增函数．(2)错误．因为cos2π＝1.(3)错误．因为－1≤sinx≤1，所以－12≤12sinx≤12.(4)正确．由正弦曲线可知，此说法是正确的．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列函数在π2，π上为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sin2xD．y＝cos2x解析：y＝sinx，y＝cosx在π2，π上均为减函数，x∈π2，π，2x∈[π，2π]．因此函数y＝sin2x在[π，2π]上非单调，y＝cosx在[π，2π]单调递增，所以y＝cos2x在π2，π上为增函数．答案：D3．函数y＝－3cosx＋2的值域为()A．[－1，5]B．[－5，1]C．[－1，1]D．[－3，1]解析：因为－1≤cosx≤1，所以－1≤－3cosx＋2≤5.答案：A4．已知函数f(x)＝2sinx－1，当且仅当x＝_______时，f(x)有最大值________．解析：由正弦函数y＝sinx的最值知，当且仅当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)＝2sinx－1有最大值1.答案：π2＋2kπ(k∈Z)15．下列函数值：sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序(用“＞”排序)是____________________．解析：因为sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)，且0＜π－3＜1＜π－2＜π2，且π＜4＜3π2，又函数y＝sinx在0，π2上单调递增，所以sin2＞sin1＞sin3＞0，而sin4＜0，故sin2＞sin1＞sin3＞sin4.答案：sin2＞sin1＞sin3＞sin4类型1求正、余函数的单调区间[典例1]求函数y＝3sinπ3－2x的单调递减区间．解：y＝3sinπ3－2x＝－3sin2x－π3，当y＝3sin2x－π3是增函数时，y＝3sinπ3－2x是减函数．因为函数y＝sinx在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，所以－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，即－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z)．所以函数y＝3sinπ3－2x的单调递减区间为－π12＋kπ，5π12＋kπ(k∈Z)．归纳升华求正、余弦函数单调区间的方法1．结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．2．在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间同上．[变式训练]求下列函数的单调递增区间：(1)y＝sinπ6－x；(2)y＝log12sinx.解：(1)因为y＝sinπ6－x＝－sinx－π6，所以函数y＝sinπ6－x的单调递增区间就是函数u＝sinx－π6的单调递减区间，由2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得2kπ＋2π3≤x≤2kπ＋5π3，k∈Z.所以所求函数的单调递增区间为2kπ＋2π3，2kπ＋5π3，k∈Z.(2)由sinx＞0，得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z.因为0＜12＜1，所以函数y＝log12sinx的单调递增区间即为t＝sinx的单调递减区间，所以2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z.所以函数y＝log12sinx的单调递增区间为2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z.类型2比较三角函数值的大小[典例2]比较下列各组数的大小：(1)sin194°与cos160°；(2)sinsin3π8与sincos3π8.解：(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.因为0°14°70°90°，所以sin14°sin70°，所以－sin14°－sin70°，即sin194°cos160°.(2)因为cos3π8＝sinπ8，所以0cos3π8sin3π81.而y＝sinx在(0，1)内递增，所以sincos38πsinsin3π8.归纳升华比较三角函数值大小的方法比较三角函数值大小前，要用诱导公式将异名函数化为同名函数，并用诱导公式化两个三角函数值为同一单调区间上的两个三角函数值，再根据函数的单调性判断大小．[变式训练]比较下列各组数的大小：(1)sin－π18与sin－π10；(2)sin74与cos53.解：(1)因为－π2＜－π10＜－π18＜0，正弦函数y＝sinx在区间－π2，0上是增函数，所以sin－π18＞sin－π10.(2)因为cos53＝sinπ2＋53，又π2＜74＜π2＋53＜3π2，而y＝sinx在π2，3π2上是减函数，所以sin74＞sinπ2＋53，即sin74＞cos53.类型3正、余弦函数的值域与最值问题[典例3]求下列函数的最大值和最小值：(1)y＝3＋2cos2x＋π3；(2)y＝2sin2x＋π3，－π6≤x≤π6；(3)y＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6.解：(1)因为－1≤cos2x＋π3≤1，所以当cos2x＋π3＝1时，ymax＝5；当cos2x＋π3＝－1时，ymin＝1.(2)因为－π6≤x≤π6，所以0≤2x＋π3≤2π3，所以0≤sin2x＋π3≤1.所以当sin2x＋π3＝1时，ymax＝2；当sin2x＋π3＝0时，ymin＝0.(3)令t＝sinx，因为x∈π6，5π6，所以12≤sinx≤1，即12≤t≤1.所以y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，所以1≤y≤72，所以原函数的最小值为1，最大值为72.归纳升华三角函数最值问题的求解方法1．形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．2．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b[或y＝Acos(ωx＋φ)＋b]型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)[或cos(ωx＋φ)]的范围，最后求得最值．3．形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元法，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．[变式训练]求下列函数的值域：(1)y＝sin2x－π3，x∈0，π2；(2)y＝2cos2x＋5sinx－4.解：(1)因为0≤x≤π2，所以0≤2x≤π，－π3≤2x－π3≤2π3.令2x－π3＝t，则原式转化为y＝sint，t∈－π3，2π3.由y＝sint的图象知－32≤y≤1，所以所求函数的值域为－32，1.(2)y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2sinx－542＋98.故当sinx＝1时，ymax＝1；当sinx＝－1时，ymin＝－9，故y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9，1]．1．正弦、余弦函数的单调性．(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．2．正弦函数、余弦函数的最值．(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值.