2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正、余弦函数的

第一章三角函数1．4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性[学习目标]1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义(难点)．2.会求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)及f(x)＝Acos(ωx＋φ)的周期(重点)．3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心(重点)．[知识提炼·梳理]1．周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．温馨提示本书中涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinπ4＋π2＝sinπ4，则π2是正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()(3)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()(4)余弦函数y＝cosx的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π解析：因为3sin12（x＋4π）－π4＝3sin12x－π4即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.答案：D3．已知函数y＝2sinx＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是()A．0B．－π4C.π2D．π解析：y＝2sinx＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－π4.k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－π4满足题意．答案：B4.函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________．解析：由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋π2(k∈Z)．答案：kπ＋π2(k∈Z)5．若f(x＋3)＝f(x)对x∈R都成立，且f(1)＝9，则f(2017)＝________．解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，f(2017)＝f(672×3＋1)＝f(1)＝9.答案：9类型1三角函数的周期问题(自主研析)[典例1]求下列三角函数的最小正周期T.(1)f(x)＝sinx＋π3；(2)f(x)＝cos2x；(3)f(x)＝3sinx2＋π3.解：法一(1)令z＝x＋π3，因为sin(2π＋z)＝sinz，所以f(2π＋z)＝f(z)，f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3，所以T＝2π.(2)令z＝2x，则cosz＝cos(z＋2π)，cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]，即f(x＋π)＝f(x)，所以T＝π.(3)令z＝x2＋π3，则3sinz＝3sin(z＋2π)，3sinx2＋π3＋2π＝3sinx＋4π2＋π3，即f(x)＝f(x＋4π)，所以T＝4π.法二(1)T＝2π1＝2π.(2)T＝2π2＝π.(3)T＝2π12＝4π.归纳升华求函数周期的方法1．公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω0)，可利用T＝2πω来求．2．图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．3．定义法：利用周期函数的定义求函数的周期．[变式训练]求下列函数的最小正周期：(1)y＝2cos2πx－π3；(2)y＝cos2x＋π6.解：(1)因为ω＝2π且T＝2π|ω|，所以函数的最小正周期T＝2π2π＝π2.(2)因为函数y＝cos2x＋π6的最小正周期为π，而函数y＝cos2x＋π6的图象是将函数y＝cos2x＋π6的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝π2.类型2三角函数奇偶性的判定[典例2]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xcos(π＋x)；(2)f(x)＝sin(cosx)．解：(1)函数f(x)的定义域为R.因为f(x)＝xcos(π＋x)＝－xcosx，所以f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)函数f(x)的定义域为R，所以f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．归纳升华判断函数奇偶性的思路[变式训练]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.解：(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．类型3三角函数周期性与奇偶性的综合应用(互动探究)[典例3]定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B.12C．－32D.32解析：f5π3＝f5π3－π＝f2π3＝f2π3－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.答案：D[迁移探究1]若典例3中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f5π3的值．解：f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－32.[迁移探究2]若典例3中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f－176π的值．解：因为f(x)的最小正周期是π2，所以f－176π＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12.归纳升华已知三角函数的周期、奇偶性以及在某一范围内的解析式，求某一函数值时，关键是利用化归的思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．1．对周期函数的四点说明．(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集．(4)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝c，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的奇偶性．(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图象又是轴对称图象．3．求解三角函数的周期性与奇偶性的策略．(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个.