2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、六课件 新人

第一章三角函数第2课时诱导公式五、六[学习目标]1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式五、六(难点)．2.理解三角函数的诱导公式五、六(重点)．3.能正确地运用诱导公式五、六求任意角的三角函数值，化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式(重点、难点)．[知识提炼·梳理]诱导公式五、六可以概括为：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．温馨提示求k·π2＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．()(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．()(3)sinkπ2－α＝±cosα.()(4)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．已知sinα＝23，则cosπ2－α等于()A.23B．－23C.53D．－53解析：cosπ2－α＝sinα＝23.答案：A3．若sinθ＋3π2＞0，cosπ2－θ＞0，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为sinθ＋32π＝－cosθ＞0，所以cosθ＜0.因为cosπ2－θ＝sinθ＞0，所以θ为第二象限角．答案：B4.若α＋β＝π2且sinα＝25，则cosβ＝________．解析：因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以cosβ＝cosπ2－α＝sinα＝25.答案：255．化简：sin3π2＋α＝________．解析：sin3π2＋α＝sinπ＋π2＋α＝－sinπ2＋α＝－cosα.答案：－cosα类型1利用诱导公式化简求值(自主研析)[典例1]计算：(1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；(2)1＋cos100°sin170°cos370°＋1－sin2170°；(3)cosπ5＋cos2π5＋cos3π5＋cos4π5－tan2π3－tanπ3.解：(1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝34－1＋1－34＋12＝12.(2)原式＝1＋cos（180°－80°）sin（90°＋80°）cos（360°＋10°）＋1－sin2（180°－10°）＝1＋（－cos80°）cos80°cos10°＋1－sin210°＝1－cos280°2cos10°＝sin80°2cos10°＝cos10°2cos10°＝12.(3)原式＝cosπ5＋cos2π5＋cosπ－2π5＋cosπ－π5－tanπ－π3－tanπ3＝cosπ5＋cos2π5－cos2π5－cosπ5－－tanπ3－tanπ3＝tanπ3－tanπ3＝0.归纳升华1．对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．2．对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一组公式函数名称不变，而运用后一组公式必须改变函数名称．[变式训练]已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25解析：因为sin5π2＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，所以cosα＝15.答案：C类型2利用诱导公式证明恒等式[典例2]求证：tan（2π－α）cos3π2－αcos（6π－α）sinα－3π2cosα＋3π2＝tanα.证明：左边＝tan（－α）－cosπ2－αcos（－α）sinα－π2cosα－π2＝－tanα（－sinα）cosαcosαsinα＝tanα＝右边．所以原等式成立．归纳升华三角恒等式证明的常用方法1．从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．2．左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以便消除差异．[变式训练]求证：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.证明：左边＝cosπ2－αsinπ2＋α·[－sin(2π－α)]cosα＝sinαcosα[－(－sinα)]cosα＝sinαcosα·sinα·cosα＝sin2α＝右边．故原等式成立．类型3诱导公式的综合应用(规范解答)[典例3](本小题满分12分)已知f(α)＝sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－π－α）sin（－π－α）.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．审题指导：仔细观察题目中的角，哪些是可以利用公式二至四，哪些是可以利用公式五、六，同时注意同角公式的应用，认真进行化简然后再求值．[正确解答](1)f(α)＝sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－π－α）sin（－π－α）＝（－sinα）·cosα·（－cosα）（－cosα）·sinα＝－cosα.(4分)失分警示：若出现符号或三角函数名称错误，则先扣4分．(2)因为cosα－3π2＝－sinα，所以sinα＝－15，(5分)又因α是第三象限角，所以cosα＝－1－－152＝－256，(7分)失分警示：若出现符号错误扣2分.所以f(α)＝256.(8分)(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12，(11分)所以f(α)＝－12.(12分)失分警示：若漏掉此处结论扣1分.归纳升华1．(1)诱导公式一、二、三、四的形式各不相同，使用时注意各个公式的形式，不要混淆．(2)诱导公式一～四的函数名称都不变，应注意区分各组公式的符号变与不变．2．诱导公式五、六与前面四组公式在形式上有区别，应用时应改变其函数名称，并注意符号的变与不变．[类题尝试]求证：sinα－π2cos3π2－αtan（π＋α）cosπ2＋αsin（2π－α）tan（－α－π）sin（－α－π）＝－cosα.证明：左边＝－cosα·（－sinα）·tanα·（－sinα）－sinα·（－tanα）·sinα＝－cosα＝右边，故原等式成立．1．诱导公式五、六．诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系，可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．2．诱导公式一～六．(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．(2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．(3)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.