2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四课件

第一章三角函数1．3三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四[学习目标]1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二、三、四(难点)．2.理解三角函数的诱导公式二、三、四(重点)．3．能正确地运用诱导公式二、三、四求任意角的三角函数值，化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式(重点、难点)．[知识提炼·梳理]公式名称诱导公式二诱导公式三诱导公式四两角关系角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称角－α的终边与角α的终边关于x轴对称角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称图示公式内容sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanαsin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanαsin(π－α)＝Sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα公式一～四可以概括为：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．温馨提示在推导过程中，利用单位圆，运用数形结合思想研究对称点的坐标关系，可得到诱导公式．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β).()(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．()解析：(1)正确．由公式三可知该结论成立．(2)错误．诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角．(3)错误．由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．(4)正确．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．若cos(π＋α)＝－13，则cosα的值为()A.13B．－13C.223D．－223解析：由已知cos(π＋α)＝－cosα＝－13，得cosα＝13.答案：A3．sin660°的值为()A.32B.12C．－32D．－12解析：由题意可得，sin660°＝sin(660°－720°)＝sin(－60°)＝－sin60°＝－32.答案：C4．sin(－30°)＝________；cos210°________．解析：sin(－30°)＝－sin30°＝－12，cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32.答案：－12－325．tan690°的值为________．解析：tan690°＝tan(2×360°－30°)＝－tan30°＝－33.答案：－33类型1给角求值问题(自主研析)[典例1]求下列各三角函数式的值．(1)sin(－660°)；(2)cos27π4；(3)2cos660°＋sin630°；(4)tan37π6·sin－5π3.解：(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝32.(2)因为27π4＝6π＋3π4，所以cos27π4＝cos3π4＝－22.(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×12－1＝0.(4)tan37π6·sin－5π3＝tan6π＋π6·sin－2π＋π3＝tanπ6·sinπ3＝33×32＝12.归纳升华利用诱导公式求任意角三角函数值1．“负化正”：用诱导公式一或三来转化．2．“大化小”：用诱导公式一将角化为0°到360°间的角．3．“小化锐”：用诱导公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4．“锐求值”：得到锐角三角函数后求值．[变式训练]求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4.解：(1)sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.(2)cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4＝sinπ＋π3cos4π＋π6·tanπ＋π4＝－sinπ3cosπ6tanπ4＝－32×32×1＝－34.类型2给值(式)求值问题(互动探究)[典例2](1)已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值为______________；(2)已知cosπ6－α＝33，则cosα＋5π6＝________．解析：(1)因为sin(π＋α)＝－sinα＝－13，所以sinα＝13.又因为cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cosα，当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－132＝223，所以cos(5π＋α)＝－cosα＝－223；当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－1－132＝－223，所以cos(5π＋α)＝－cosα＝223.(2)cosα＋5π6＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33.答案：(1)223或－223(2)－33[迁移探究1]若典例2(2)中的条件不变，如何求cosα－13π6？解：cosα－13π6＝cos136π－α＝cos2π＋π6－α＝cosπ6－α＝33.[迁移探究2]若典例2(2)中条件不变，求cos56π＋α－sin2α－π6的值．解：因为cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2－π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，所以cos56π＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.归纳升华解决条件求值问题的方法1．解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．2．可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．类型3化简求值问题(误区警示)[典例3]化简：sin（α＋nπ）＋sin（α－nπ）sin（α＋nπ）cos（α－nπ）(n∈Z)．易错提示：解答本题常因忽视对n的奇偶性的讨论致误．防范措施：在处理含参数的式子时，应树立分类讨论的意识，常常需要对参数的奇偶性进行讨论．如本例中，α＋2kπ(α－2kπ)与α＋(2k＋1)π所用的诱导公式不同，因此要对n分奇数、偶数两种情况讨论．[正确解答]当n为偶数时，设n＝2k，k∈Z，原式＝sin（α＋2kπ）＋sin（α－2kπ）sin（α＋2kπ）cos（α－2kπ）＝2cosα；当n为奇数时，设n＝2k＋1，k∈Z，原式＝sin[α＋（2k＋1）π]＋sin[α－（2k＋1）π]sin[α＋（2k＋1）π]cos[α－（2k＋1）π]＝－2cosα.综上，原式＝2cosα，n为偶数，－2cosα，n为奇数.[类题尝试]设k为整数，化简sin（kπ－α）cos[（k－1）π－α]sin[（k＋1）π＋α]cos（kπ＋α）.解：当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，原式＝－sinα·（－cosα）－sinα·cosα＝－1,当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，原式＝sinαcosαsinα·（－cosα）＝－1.综上，原式的值为－1.1．公式的记忆．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时的原函数值的符号．简记作“函数名不变，符号看象限”．2．公式的应用．诱导公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数值相同，它的作用是将任意角的三角函数值问题转化为[0，2π)内的角的三角函数值问题来解决．应用诱导公式二可把第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．应用诱导公式三可将负角的三角函数转化为正角的三角函数．应用诱导公式四可将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．3．在处理含参数的问题时，应注意分类讨论思想的应用．4．三角函数式化简的常用方法．(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数；(3)注意“1”的使用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.