2019秋高中数学 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件 新人教A版必

第一章空间几何体1．3空间几何体的表面积与体积1．3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标]1.了解柱体、锥体、台体的表面积公式和体积公式的推导过程，会用公式求简单几何体的表面积和体积(重点)．2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用它求几何体的表面积(易混、易误点)．3.利用柱体、锥体、台体的表面积公式和体积公式解决实际问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．2．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台底面积：S底＝π(r′2＋r2)侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)3.柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13Sh.(3)台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则体积V＝13(S＋SS′＋S′)h.[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．()(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．()(3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥．()解析：(1)由棱台的概念与体积公式易知该命题正确．(2)因为圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积，是它们的侧面积，而表面积等于它们的侧面积与底面面积的和，所以该命题错误．(3)沿着三棱柱的三个面对角线，其中有两对共点，将三棱柱割开，则这三个三棱锥的体积相等，所以该命题正确．答案：(1)√(2)×(3)√2．圆柱底面的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为()A．4πB．42πC．8πD．82π解析：圆柱的侧面展开图为矩形，矩形的长为圆柱底面圆的周长，矩形的宽为圆柱的高，所以此圆柱侧面展开图的面积为(2π×2)×2＝8π.答案：C3．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为()A．23πB.3πC.23π3D.3π3解析：因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，故圆锥的底面半径r＝1，圆锥的高h＝3，所以圆锥的体积V＝13π·12·3＝33π.答案：D4．底面积是3，侧棱长是2的正三棱锥的表面积为________．解析：设底边长为a，因为底面积为3，所以S底＝34a2＝3，所以a＝2.因为侧棱长为2，所以每个侧面都是边长为2的等边三角形，所以这个正三棱锥是一个正四面体，其表面积S＝3×4＝43.答案：435．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是______．解析：由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2.所以S侧＝1×2×4＝8.答案：8类型1柱体、锥体、台体的表面积(自主研析)[典例1](1)圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πSB．2πSC．πSD.233πS(2)一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的表面积是()A．12πB．14πC．16πD．28π(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A．81πB．100πC．168πD．169π解析：(1)设圆柱的底面半径为r，则S＝πr2，于是r＝Sπ，底面周长为2π·Sπ，又因为侧面展开图为正方形，所以母线长l＝2π·Sπ.圆柱的侧面积S侧＝2πrl＝2π·Sπ·2π·Sπ＝4πS.(2)由三视图可知该几何体是一个圆锥，其底面半径为2，高为42，从而母线长l＝（42）2＋22＝6，于是圆锥的表面积S＝π×2×6＋π×22＝16π.(3)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋（R－r）2＝（4r）2＋（3r）2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8，S侧＝π(R＋r)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.答案：(1)A(2)C(3)C归纳升华求旋转体侧面积及表面积的要点1．因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中的边角关系是解题的关键．2．对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法．3．在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程．[变式训练]如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，边长为1，若PA＝1，则该四棱锥的表面积为()A．1＋2B．2＋2C.12D．22解析：由题意知底面积S底面＝1，侧面由直角边长均为1的两个等腰直角三角形和直角边长分别为1，2的两个直角三角形组成，则S侧＝2×12×1×1＋2×12×1×2＝1＋2，所以该几何体的表面积S＝S底面＋S侧＝2＋2.答案：B类型2柱体、锥体、台体的体积(互动探究)[典例2]（1）如右图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，截下一个棱锥C­A′DD′，求棱锥C­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.（2）圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是()A.64π3B.128π3C．64πD．1282π(1)解：长方体可以看成四棱柱ADD′A′­BCC′B′，设它的底面ADD′A′的面积为S，高为h，则它的体积V＝Sh.而棱锥C­A′DD′的底面积为12S，高是h，故棱锥C­A′DD′的体积为V棱锥C­A′DD′＝13×12Sh＝16Sh.剩余部分的体积是Sh－16Sh＝56Sh.所以棱锥C­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)解析：作圆锥的轴截面(如图所示)．由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝2r.由S侧＝π·r·PB＝162π，得2πr2＝162π.所以r＝4.则h＝4.故圆锥的体积V圆锥＝13πr2h＝643π.答案：A[迁移探究1](变换条件，改变问法)将典例2(2)的条件“侧面积是162π”改为“若其体积为3π”，求该圆锥的侧面积．解：设圆锥的底面半径为r，则高h＝r，母线l＝PB＝2r.由V圆锥＝13πr2·h＝13πr3＝3π，得r＝3，母线l＝6.故S圆锥侧＝πrl＝3×6π＝32π.[迁移探究2]若将典例2(2)的条件变换为“已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π”，求这个圆台的体积．解：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.所以r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.所以l＝2，所以h＝3，所以V＝13π(12＋22＋1×2)×3＝73π3.归纳升华1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求的量转化到轴截面内进而求解．2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．类型3简单组合体的表面积和体积[典例3]已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．解：如图所示，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.因为BC·AC＝AB·CD，所以CD＝125，记为r＝125，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝125，母线长分别是AC＝3，BC＝4，所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π×125×(3＋4)＝845π，V＝13πr2(AD＋BD)＝13πr2·AB＝13π×1252×5＝485π.所以所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.归纳升华1．求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式．对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．2．已知几何体的三视图求其表面积或体积时，先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中所给数据，得到直观图中计算表面积和体积所需要的有关数据，再进行代入计算．[变式训练]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1、高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形、高为3的三棱锥的组合体．所以该几何体的体积为V＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.答案：A1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解答有关问题的关键．2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．V＝Sh←――S′＝SV＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V＝13Sh，其中S′，S分别为上、下底面面积，h为高．3．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．4．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”的应用.