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第一章空间几何体1．2.3空间几何体的直观图[学习目标]1.了解斜二测画法的概念(重点)．2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图(重点、难点)．3.了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．[知识提炼·梳理]1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤温馨提示斜二测画法中，“斜”是指直角坐标系xOy变成斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变．()(2)在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行．()(3)在平面图形的直观图中，原来垂直的直线仍然垂直．()解析：(1)错误．因为在斜二测画法中，原来与y轴垂直的线段，其长度不变．(2)正确．依据斜二测画法可知，在原图形中平行的直线，在直观图中依然平行；(3)错误．依据斜二测画法可知，在原图形中x轴、y轴互相垂直，在直观图中相应的x′、y′轴成45°或135°角，所以该命题错误．答案：(1)×(2)√(3)×2．下列关于用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的说法中错误的是()A．原来相交的线段仍相交B．原来垂直的线段仍垂直C．原来平行的线段仍平行D．三角形的直观图仍为三角形解析：根据斜二测画法，原来垂直的线段未必仍垂直．答案：B3．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝______．解析：由斜二测画法，A′＝45°或A′＝135°.答案：45°或135°5．已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．解析：在直观图中，∠C′O′B′＝45°，O′C′＝3，O′B′＝3.因此在△OBC中，∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝6.故S△ABC＝S△OBC＝12×3×6＝9.答案：9类型1平面图形直观图的画法(自主研析)[典例1]按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．解：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E(如图③)．归纳升华1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图时，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段则通过与坐标轴平行的线段来确定它的两个端点，然后连接成线段．[变式训练]画如图所示水平放置的直角梯形OBCD的直观图．解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①所示．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上取O′B′＝OB，在y′轴上取O′D′＝12OD，过D′作x′轴的平行线，且在平行线沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.如图②所示．(3)连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③所示．类型2简单几何体的直观图[典例2](1)如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是()(2)画棱长为2cm的正方体的直观图．(1)答案：A(2)解：如图，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2cm，AD＝1cm.第二步：过A作z′轴，使∠BAz′＝90°.分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2cm.第三步：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去多余的辅助线，得到的图形就是所求的正方体直观图．归纳升华画简单几何体直观图的步骤1．画轴：通常以高所在直线为z轴建系．2．画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．3．确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．4．连接成图．[变式训练]画出正四棱锥的直观图(尺寸自定)．解：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如左图所示．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到四棱锥的直观图，如右图所示．类型3直观图的还原与计算(互动探究)[典例3]如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，所以面积为S＝2＋32×2＝5.[迁移探究]如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形解析：直观图中，O′D′＝2O′C′＝22cm，C′D′＝2cm，如图，在原图形OABC中，OABC为平行四边形，有OD＝2O′D′＝2×22＝42cm，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝6cm，又OA＝6cm，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．答案：C归纳升华1．平面图形的直观图与原图形的关系为：(1)与x轴、y轴平行线段的平行性不变．(2)长度关系的变化，与y轴平行的线段长度折半．2．直观图与原图面积之间的关系．若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝24S或S＝22S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．画图时紧紧把握住一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x′轴成45°或135°角；二测——两种度量形式，即在直观图中平行于x轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段变为原长度的一半．2．画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．3．注意由直观图求原图形有关问题时，要把平行于y′轴的线段长度变为两倍才是原图形的长度.