2019秋高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算课件 新人教A版

第一章解三角形第3课时三角形中的几何计算[学习目标]1.能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题．2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用．[知识提炼·梳理]1．三角形常用面积公式(1)三角形面积公式S＝12底×高．(2)三角形面积公式的推广：S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanCC≠π2，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．()(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．()(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．()(4)已知三角形的两边及其一角不能求出其面积．()解析：(1)三角形面积公式适用于所有的三角形，故正确；(2)利用三角形面积公式S＝12absinC显然能求出其面积，故命题错误；(3)已知两角及一边，由正弦定理可求另边与角，由面积公式可求出其面积，故命题错误；(4)错误．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()A.32B.34C.32或34D.12解析：由正弦定理得sinC＝AB·sinBAC＝3×121＝32，因为0°C180°，所以C＝60°或120°，所以A＝90°或30°，所以S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32或34.答案：C3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为()A.33B.232C.3D．23解析：将c2＝a2＋b2－2abcosC与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，所以S△ABC＝12absinC＝3.答案：C4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：因为a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝a2＋b2－c24，所以S△ABC＝2abcosC4＝12absinC，所以tanC＝1，又C∈(0，π)，所以C＝π4.答案：C5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＝45，若b＝2，△ABC的面积为3，则边长a＝________．解析：因为cosA＝45，所以sinA＝35，由面积公式S＝12bcsinA得：12·2·c·35＝3，所以c＝5.由余弦定理得：a2＝22＋52－2×2×5×45＝13，所以a＝13.答案：13类型1三角形面积公式及正弦余弦定理综合应用[典例1]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，所以C＝2π3－A，sinA＝35.于是sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310，又因为B＝π3，b＝3，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.于是△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.归纳升华对于求三角形面积的问题，一般用公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB进行求解，可分为以下两种情况：1．若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．2．若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．[变式训练](2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12，所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bcsinA＝a23sinA，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.类型2三角形中三角恒等式[典例2](2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，可得tanB＝3.又因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝37.因为ac，故cosA＝27.所以sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.归纳升华化简三角形中的恒等式的关键：利用正弦定理和余弦定理以及其他公式，对边角关系进行互化，化边考虑或化角考虑．[变式训练]已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.类型3三角变换与三角形面积公式的综合应用(规范解答)[典例3](本题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．解：(1)由题意可知12absinC＝34×2abcosC．(2分)所以tanC＝3.(4分)因为0＜C＜π，所以C＝π3.(6分)(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sinπ－A－π3＝sinA＋sin2π3－A＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sinA＋π6≤30＜A＜2π3.(9分)当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，(11分)所以sinA＋sinB的最大值为3.(12分)归纳升华解三角变形与三角形面积公式的综合应用题时，以下结论常常用到：1．A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2.2．在三角形中大边对大角，反之亦然．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．三角形的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanCC≠π2，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.[变式训练](2018·北京卷)若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________．解析：本题主要考查正弦、余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换．依题意有12acsinB＝34(a2＋c2－b2)＝34×2accosB，则tanB＝3，因为0∠Bπ，所以∠B＝π3.ca＝sinCsinA＝sin2π3－AsinA＝12＋3cosA2sinA＝12＋32·1tanA，因为∠C为钝角，所以2π3－∠Aπ2，又∠A0，所以0∠Aπ6，则0tanA33，所以1tanA3，故ca12＋32×3＝2.故ca的取值范围为(2，＋∞)．答案：π3(2，＋∞)1．解求三角形面积的问题，应先观察已知哪些元素，再用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，进而求出三角形的面积．2．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查边或角的关系．3．许多题既可用正弦定理求解也可用余弦定理求解，甚至可以两者兼用，当用一个公式求解受阻时，要及时考虑换用其他公式列式．4．若题目中的量有单位，作答时要注意书写单位．