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第一章解三角形1．2应用举例第1课时距离问题[学习目标]1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(如平面上点的方位与点之间的距离等)．2.会设计测量方式解决平面上的距离计算问题．[知识提炼·梳理]1．仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图①所示．2．方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图②所示．图①图②[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()(3)东偏北45°的方向就是东北方向．()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()解析：已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航速为________海里/时()A．8(6＋2)B．8(6－2)C．16(6＋2)D．16(6－2)解析：由题意得，在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得SAsin105°＝ABsin45°，即82sin105°＝ABsin45°，得AB＝8(6－2)，因此此船的航速为8（6－2）12＝16(6－2)(海里/时)．答案：D3．某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x的值是()A．－1B．4C．1D．1或4解析：如图，由余弦定理得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(x＝－1舍去)．答案：B4．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为()A．α＋βB．α－βC．β－αD．α解析：如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α.答案：C5．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.解析：因为A、B、C、D四点共圆，所以∠B＝π－∠D，所以cosB＝－cosD.所以DA2＋DC2－AC22DA·DC＝－AB2＋BC2－AC22AB·BC，所以52＋32－AC22×3×5＝－52＋82－AC22×5×8，所以AC2＝49，所以AC＝7.答案：7类型1测量从一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离问题(互动探究)[典例1]海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．103海里B.1063海里C．52海里D．56海里解析：如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得BCsin60°＝ABsin45°，所以BC＝32×10＝56(海里)．答案：D[迁移探究](变换条件)在典例1中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变又如何求B，C间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°＝102＋202－2×10×20×12＝300.故BC＝103.则B，C间的距离为103海里．归纳升华三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．[变式训练]如图所示，为了测量隧道口AB的长度，测量时应选用数据()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝a2＋b2－2abcosγ求解．答案：C类型2测量两个不可到达点间的距离[典例2]在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．解：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝32a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，因为DBsin∠BCD＝CDsin∠DBC，所以BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝32a·6＋2422＝3＋34a.在△ADB中，因为AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝34a2＋3＋34a2－2·32a·3＋34a·32＝38a2.所以AB＝64a，所以蓝方这两支精锐部队的距离为64a.归纳升华测量不能到达的两点间的距离的方法及关键1．方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法．2．关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．[变式训练]如下图所示，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝400米，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，求AB的长．解：在△ACD中，由正弦定理得：AC＝DCsin（∠CDB＋∠BDA）sin[180°－（∠ACD＋∠CDB＋∠BDA）]＝400sin105°sin45°＝200(3＋1)(米)．在△BCD中，由正弦定理得：BC＝400sin45°sin[180°－（∠ACD＋∠ACB＋∠BDC）]＝400sin45°sin45°＝400(米)．在△ABC中，应用余弦定理，AB两点间的距离为：AB＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝2006(米)．所以AB的长为2006米．1．解三角形应用题常见的两种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理来求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解满足条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解．有时需设出未知量，从几个三角形出发列出方程，解方程得出所要求的解．2．正、余弦定理在实际测量中应用的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．