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第一章解三角形第2课时余弦定理[学习目标]1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．2.会运用余弦定理解决两类基本的三角形问题．[知识提炼·梳理]1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．特别：在△ABC中，已知C＝90°，三边a，b，c的关系为：c2＝a2＋b2(勾股定理)．2．△ABC中，用三边a，b，c表示cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab．3．运用余弦定理可以解决两类解三角形的问题．(1)已知三边，求三角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．温馨提示勾股定理实际上是余弦定理的特殊情形．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．()(2)在△ABC中，若cosA＝b2＋c2－a22bc＞0，则△ABC为锐角三角形．()(3)已知三角形两边及夹角，则此三角形完全确定．()(4)在△ABC中，若b2＋c2－a2＜0，则△ABC为钝角三角形．()解析：(1)因为a2＋b2＝c2，所以C＝90°，故△ABC为直角三角形，正确．(2)由cosA＞0可知A必为锐角，但还有B，C不能确定，故不正确．(3)当已知两边及夹角时，可由余弦定理求出另一边，从而可知三角形已确定了，故正确．(4)由b2＋c2－a2＜0，知cosA＜0，故A为钝角，显然△ABC为钝角三角形成立，故正确．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．在△ABC中，b＝5，c＝53，A＝30°，则a等于()A．5B．4C．3D．10解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52＋(53)2－2×5×(53)×32＝25，所以a＝5.答案：A3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则()A．abB．abC．a＝bD．a与b的大小关系不确定解析：cos120°＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－2a22ab＝－12，所以b＝5－12aa.答案：A4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA，b2＋c2－a2＝bc，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：因为b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，因为A为三角形内角，所以A＝60°，所以a＝2bsinA＝3b.利用正弦定理化简，得sinA＝3sinB，即sinB＝12，所以B＝30°或B＝150°(不合题意，舍去)，所以C＝90°，即△ABC为直角三角形．答案：C5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________．解析：由余弦定理的推论，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，所以B＝150°.答案：150°类型1已知两边及其一角解三角形[典例1](2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：本题考查倍角公式和余弦定理．因为cosC＝2cos2C2－1＝2×15－1＝－35，BC＝1，AC＝5，所以AB＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC＝1＋25－2×1×5×－35＝42.答案：A归纳升华已知三角形的两边及其夹角解三角形1．利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角，二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．2．用正弦定理求解时，需根据“大边对大角”对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[因为在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的]，故用余弦定理求解较好．[变式训练]在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，所以b＝22.又因为cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.类型2已知三边解三角形[典例2](1)已知△ABC的三边长为a＝23，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的各角度数；(2)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．解：(1)由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝（22）2＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A＝60°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝（23）2＋（6＋2）2－（22）22×23×（6＋2）＝22，所以B＝45°，所以C＝180°－A－B＝75°.(2)因为c＞a，c＞b，所以角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，所以cosC＝－12，因为0°＜C＜180°，所以C＝120°.所以△ABC的最大内角为120°.归纳升华1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解．在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．[变式训练]在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解：由余弦定理和条件得cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理得x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x＝7.所以所求AC边上的中线长为7.类型3利用正、余弦定理判断三角形形状[典例3]在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．解：法一(角化边)因为(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，所以由正、余弦定理可得：a－c·a2＋c2－b22ac·b＝b－c·b2＋c2－a22bc·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.所以a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．法二(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.因为sinC≠0，所以sinBcosB＝sinAcosA.所以sin2B＝sin2A.所以2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝π2.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．归纳升华1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这类问题．一般有两条思考路线：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余弦值．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式．2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：(1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2.(2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2.(3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.[变式训练]在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.因为B＝60°，2b＝a＋c，所以a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，所以a＝c.又因为2b＝a＋c，所以2b＝2c，即b＝c.所以△ABC是等边三角形．法二根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又因为B＝60°，所以A＋C＝120°.所以C＝120°－A，所以2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，所以A＝60°，C＝60°，所以△ABC是等边三角形．1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特殊情形．2．余弦定理的应用范围是：(1)已知三边求三角．(2)已知两边及一个内角，求第三边及其他两个角．3．已知两边及其中一边所对角，用余弦定理时可能有两个解，注意用三边长度关系特点进行取舍．4．注意数形结合数学思想的运用．