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第一章计数原理1.2排列与组合1.22组合第2课时组合的综合应用[学习目标]1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题(重点)．2.能解决有限制条件的组合问题(重点、难点)．解组合应用题的总体思路(1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序问题用组合解答，有序问题属排列问题．(2)对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，各类的交集等于空集．计算结果时，使用分类计数原理．(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步计数原理．1．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．答案：A2．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20B．9C．C39D．C24C15＋C25C14解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．答案：B3．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有()A．36个B．24个C．18个D．6个解析：依题意，取出的数字应为两奇一偶，所以满足条件的位数为C23C12A33＝36(个)．答案：A4．凸十边形的对角线的条数为________．解析：从10个顶点中每次取出两个，得出所有线段条数，再减去边数即为所求结果，所以对角线条数为C210－10＝35.答案：355．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．解析：因为先从3个信封中选一个放标号为1，2的卡片，有3种不同的选法，再从剩下的4个标号的卡片中选两个放入一个信封有C24＝6(种)，余下的放入最后一个信封，所以共有3C24＝18(种)．答案：18类型1有限制条件的组合问题(自主研析)[典例1]某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解：(1)分步法：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)直接法：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24C46种选法；②选3名外科专家，共有C34C36种选法；③选4名外科专家，共有C44C26种选法，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有C24C46＋C34C36＋C44C26＝185(种)．(3)至多有2名外科专家的抽调方法有C66＋C14C56＋C24C46＝115(种)．归纳升华(1)解答有限制条件的组合问题，要先明确限制条件．当限制条件为“含有”或“不含”某元素时，可直接分步处理；当限制条件中有“至多”“至少”的要求时，可分类求解或用间接法求解．(2)用直接法求解时依然坚持特殊元素优先选取、特殊位置优先安排的原则．[变式训练]某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种解析：法一选修1门A类，2门B类课程的选法有C13C24种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有C23C14种．故选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．法二从7门选修课中选修3门的选法有C37种，其中3门课都为A类的选法有C33种，都为B类的选法有C34种，故选法共有C37－C33－C34＝30(种)．答案：A类型2组合中的分组、分配问题[典例2]有6本不同的书按下列分配方式分配，则分别有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三个组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．解：(1)分三步．先选1本有C16种选法，再从余下的5本中选2本有C25种选法，最后余下的3本全选有C33种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C16·C25·C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，考虑再分配问题．因此，分配方式共有C16·C25·C33·A33＝360(种)．(3)先分三组，则应是C26C24C22种分法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，该种分法记为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况只能作为一种分法，故分配方式有C26·C24·C22A33＝15(种)．(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式C26·C24·C22A33·A33＝90(种)．归纳升华(1)解决这类问题的关键是分清分组问题还是分配问题．(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分为n组，利用分步乘法计数原理求出结果后再除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，按照分步乘法计数原理．(3)分配问题属于“排列”问题，可以按照逐个分配求解，也可以先分组再分配．[变式训练]4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种．解析：把4名学生分成3组有C24种方法，再把3组学生分配到3所学校有A33种方法，故共有C24A33＝36种保送方案．答案：36类型3排列组合的综合问题[典例3]从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14400(个)．归纳升华1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点：(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题；(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．[变式训练]5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法；故由分类加法计数原理，共有12＋36＝48种不同排法．答案：48类型4几何中的组合问题(互动探究)[典例4]已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，则这9个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？解：(1)可分三类：第一类：平面M中取一点，N中取两点，最多可确定C14C25个；第二类：平面M中取两点，N中取一点，最多可确定C24C15个；(2)法一分三类．第一类：平面M内取一个点，N内取三个点，最多可确定C14C35个．第二类：平面M内取两个点，N内取两个点，最多可确定C24C25个．第三类：平面M内取三个点，N内取一个点，最多可确定C34C15个．第三类：平面M和平面N，共2个．故最多可确定平面C14C25＋C24C15＋2＝72(个)．故最多可确定平面C14C35＋C24C25＋C34C15＝120(个)．法二C49－C45－C44＝120(个)．[迁移探究1]有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有多少个？解：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C14·C25种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C24·C15种方法．所以满足条件的三角形共有C14·C25＋C24·C15＝70(个)．[迁移探究2]空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？解：这个问题可分四类加以考虑．①5个共面点确定1个平面；②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定7C25个平面；③5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点确定5C27个平面；④7个点中任何3个点确定C37个平面．所以总共确定的平面共有1＋7C25＋5C27＋C37＝211(个)．归纳升华(1)要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合模型加以处理．(2)处理几何中的计数问题的基本思路有两种：一是考虑用特殊元素去分类，用直接法求解；二是间接法，在所有的取法中，去掉不符合题意的取法(如共线三点不能确定三角形，共面四点不能确定四面体)．1．无条件限制的组合应用题，其解题步骤是：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为特殊的元素和特殊位置．一般来讲，特殊的要先满足，其余的则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)“至多”与“至少”问题，通常采用排除法求解，也可以用直接法．(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．