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第一章计数原理1.2排列与组合1．2.2组合第1课时组合与组合数公式[学习目标]1.理解组合及组合数的概念(重点)．2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题(重点、难点)．1．组合的概念(1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．温馨提示注意组合与排列的区别与联系．2．组合数公式与组合数的性质(1)组合数公式：①Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！.②Cmn＝n！m！（n－m）！．(2)组合数的性质：①Cmn＝______；②Cmn＋1＝_________．规定：C0n＝1．Cn－mnCmn＋Cm－1n温馨提示1.组合数公式可由排列数公式表示，注意公式的结构；2.组合数公式在n，m∈N*，且m≤n时成立，在m＞n时不成立．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘，可得C24个不同的积．()(3)C25＝5×4＝20.()(4)C20162017＝C12017＝2017.()解析：(1)对．因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)对，根据组合数的定义知说法正确．(3)错，C25＝5×42×1＝10.(4)对，根据组合数的性质知等式成立．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．下列计算结果为21的是()A．A24＋C26B．C77C．A27D．C27解析：C27＝7×62×1＝21.答案：D3．下列几个问题是组合问题的有()①从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？③3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？④3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种分配方法？A．①②B．③④C．①③D．②④解析：①③与顺序有关，是排列问题；②④与顺序无关，是组合问题．答案：D4．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．解析：甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.答案：35．若Cm15＝Cm－315，则m＝________．解析：由题设得m＝m－3或m＋(m－3)＝15，所以m＝9.答案：9类型1组合的概念(自主研析)[典例1](1)判断下列各事件是排列问题还是组合问题．①10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？②10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？③从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(2)从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．(1)解：①是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．②是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．③是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(2)要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.归纳升华1．区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来．[变式训练]下列问题是组合问题的有()①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流；②一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动；③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流．A．①②B．①③C．②③D．①②③解析：①②与顺序无关是组合问题，③与顺序有关是排列问题．答案：A类型2组合数的计算[典例2](1)计算：C9799＋C9899＋C99100＝________；(2)求值：C5－nn＋C9－nn＋1＝________；解析：(1)C9799＋C9899＋C99100＝C98100＋C99100＝C99101＝C2101＝101×1002×1＝5050.(2)由组合数的定义知0≤5－n≤n，0≤9－n≤n＋1，解得4≤n≤5.又n∈N*，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C14＋C55＝5；当n＝5时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C05＋C46＝16.答案：(1)5050(2)5或16归纳升华1.涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！计算．2．涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！（n－m）！计算．3．计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．[变式训练](1)若C2x－120＝Cx＋320，则x的值为()A．4B．4或5C．6D．4或6(2)计算C17－n2n＋C3n13＋n.(1)解析：由C2x－120＝Cx＋320得2x－1＝x＋3或2x－1＋(x＋3)＝20，所以x＝4或x＝6.答案：D(2)解：由2n≥17－n，13＋n≥3n，得173≤n≤132，又n∈N*，得n＝6，故C17－n2n＋C3n13＋n＝C1112＋C1819＝C112＋C119＝31.类型3简单的组合问题[典例3]在12种产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步，先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法，所以共有C12·C210＝90种抽法．(3)法一分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12·C210＋C22·C110＝100种抽法．法二(间接法)从12件产品中任意抽出3种有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种，所以共有C312－C310＝100种抽法．归纳升华解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法)．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，看解答过程是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[变式训练]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.即从口袋内取出3个球，共有56种取法．(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.故取出含有1个黑球的3个球，共有21种取法．(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.取出不含黑球的3个球，共有35种取法．1．组合的概念．组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，“合成一组”即表示与顺序无关．若两个组合中的元素完全相同，不管它们是顺序如何都是相同的组合；若两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，则是不同的组合．2．组合与排列问题的异同．组合与排列问题的共同点是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后都者要“按照一定顺序排成一列”．3．组合数、组合数、组合数公式及组合数性质．(1)“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指“从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，它是一个数．(2)当m，n数值较大时或要对含有字母的组合数式进行变形论证时，利用公式Cmn＝n！m！（n－m）！解题较方便．(3)计算组合数时，特别是m较大时，注意利用公式Cmn＝Cn－mn进行转化．